Définition
Direction
La direction d'un vecteur est la droite support du vecteur, c'est-à-dire la ligne selon laquelle le vecteur est orienté.
Sens
Le sens d'un vecteur est l'orientation de la flèche qui représente le vecteur, par exemple, de A vers B.
Norme
La norme d'un vecteur est sa longueur, c'est une grandeur positive ou nulle.
Vecteur nul
Le vecteur nul est le vecteur de norme nulle, sans direction ni sens.
Vecteurs colinéaires
Deux vecteurs sont colinéaires s'ils ont la même direction.
Caractéristiques des Vecteurs
Les vecteurs possèdent quelques caractéristiques clés qui les définissent : leur direction, leur sens et leur norme. Ces caractéristiques permettent de les représenter dans un plan ou dans l'espace. En notation, un vecteur est souvent représenté par une lettre avec une flèche au-dessus, par exemple, \( \vec{u} \).
Égalité des Vecteurs
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. Par exemple, si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) ont des modules, directions et sens identiques, alors \( \vec{u} = \vec{v} \).
Opérations sur les Vecteurs
Addition de Vecteurs
L'addition de vecteurs se fait en respectant la règle du parallélogramme ou la règle du triangle. Si \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) sont deux vecteurs, leur somme \( \vec{u} + \vec{v} \) est obtenue en plaçant bout à bout \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \).
Soustraction de Vecteurs
La soustraction vecteur \( \vec{u} - \vec{v} \) est définie comme \( \vec{u} + (-\vec{v}) \), où \(-\vec{v}\) est le vecteur opposé à \( \vec{v} \), ayant la même norme mais la direction opposée.
Multiplication par un Scalaire
Un vecteur peut être multiplié par un scalaire (un nombre réel) \( k \). Si \( k > 0 \), le vecteur résultant a la même direction. Si \( k < 0 \), il a la direction opposée. La norme du vecteur est multipliée par \(|k|\).
Coordonnées des Vecteurs
Un vecteur dans le plan peut être exprimé par ses coordonnées. Si les points A et B ont pour coordonnées (x₁, y₁) et (x₂, y₂), le vecteur \( \vec{AB} \) aura pour coordonnées (x₂ - x₁, y₂ - y₁).
Opérations avec les Coordonnées
Pour deux vecteurs \( \vec{u} = (x₁, y₁) \) et \( \vec{v} = (x₂, y₂) \), l'addition et la soustraction sont définies par :
- Addition : \( (x₁ + x₂, y₁ + y₂) \).
- Soustraction : \( (x₁ - x₂, y₁ - y₂) \).
Colinéarité de deux Vecteurs
Deux vecteurs \( \vec{u} = (x₁, y₁) \) et \( \vec{v} = (x₂, y₂) \) sont colinéaires si et seulement si \( x₁ \cdot y₂ - x₂ \cdot y₁ = 0 \).
Applications Pratiques
Les applications pratiques des vecteurs incluent la vérification de l'alignement de points (trois points A, B, C sont alignés si les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \) sont colinéaires) et la reconnaissance du parallélogramme (si deux paires de cotés opposés sont égaux, alors le quadrilatère est un parallélogramme).
Formules Importantes à Retenir
Il existe plusieurs formules importantes pour les vecteurs :
- Norme d'un vecteur \( \vec{AB} \): \( \sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2} \).
- Coordonnées du milieu d'un segment \( I \) entre A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂) : \( (\frac{x₁ + x₂}{2}, \frac{y₁ + y₂}{2}) \).
- Colinéarité : \( x₁ \cdot y₂ - x₂ \cdot y₁ = 0 \).
A retenir :
Les vecteurs sont des outils mathématiques importants, caractérisés par leur direction, leur sens, et leur norme. Ils peuvent être manipulés par des opérations telles que l'addition, la soustraction et la multiplication par un scalaire. Les coordonnées permettent de représenter les vecteurs dans le plan et facilitent l'application de ces opérations. Les concepts de colinéarité et d'alignement des points sont essentiels dans de nombreux contextes géométriques.
