Les variables aléatoires sont un concept central en probabilité et en statistique. Elles permettent de modéliser des phénomènes incertains et d'étudier leur comportement à l'aide de méthodes mathématiques.
Définition
Définition
Une variable aléatoire est une fonction qui associe à chaque événement d'un espace probabilisé un nombre réel. Elle permet de quantifier la notion de hasard associée à un phénomène aléatoire.
Une variable aléatoire peut être discrète ou continue :
Définition
Variable aléatoire discrète
Une variable aléatoire est dite discrète si elle ne peut prendre qu'un ensemble fini ou dénombrable de valeurs. Par exemple, le résultat d'un lancer de dé est une variable aléatoire discrète car il ne peut prendre que les valeurs 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Variable aléatoire continue
Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné. Par exemple, la hauteur d'une personne est une variable aléatoire continue car elle peut prendre n'importe quelle valeur réelle positive.
Les variables aléatoires sont définies à l'aide de fonctions de répartition et de densités de probabilité :
Définition
Fonction de répartition
La fonction de répartition d'une variable aléatoire permet de calculer la probabilité que cette variable prenne une valeur inférieure ou égale à une valeur donnée. Elle est notée F(x) et s'exprime mathématiquement par :
F(x) = P(X ≤ x)
où X représente la variable aléatoire et x la valeur.
Densité de probabilité
La densité de probabilité d'une variable aléatoire continue permet de calculer la probabilité qu'elle prenne une valeur dans un intervalle donné. Elle est notée f(x) et s'exprime mathématiquement par :
P(a ≤ X ≤ b) = ∫f(x)dx
où X représente la variable aléatoire et a et b les bornes de l'intervalle.
Les variables aléatoires sont utilisées dans de nombreux domaines, tels que la finance, la biologie, la physique, etc. Elles permettent d'analyser des données probabilistes et de prendre des décisions éclairées.
A retenir :
En résumé, une variable aléatoire est une fonction qui associe à chaque événement d'un espace probabilisé un nombre réel. Elle peut être discrète ou continue et est caractérisée par sa fonction de répartition ou sa densité de probabilité.
