Définition
Valeur absolue
La valeur absolue d'un nombre réel est la distance de ce nombre à zéro sur la droite des réels, sans tenir compte de son signe. Elle est notée |x|.
Fonction valeur absolue
La fonction valeur absolue est une fonction qui associe à chaque réel x, la valeur non négative de x. Son expression est f(x) = |x|.
Propriété de la valeur absolue
Pour tout réel x, |x| ≥ 0 et |x| = sqrt(x^2).
Représentation graphique
La représentation graphique de la fonction valeur absolue est en forme de V. Pour les valeurs positives de x, la courbe suit la droite y = x. Pour les valeurs négatives de x, la courbe suit la droite y = -x.
Propriétés algébriques de la valeur absolue
Addition
Pour tous réels a et b, on a l'inégalité triangulaire: |a + b| ≤ |a| + |b|.
Multiplication
Pour tous réels a et b, |a * b| = |a| * |b|. Cette propriété découle du fait que la distance ne dépend pas de l'orientation sur la droite des réels.
Division
Pour deux réels a et b (b ≠ 0), |a / b| = |a| / |b|. Cette propriété s'explique par le fait que la division de deux distances reste une distance.
Équations et inéquations
Résoudre des équations avec des valeurs absolues demande de prendre en compte les deux cas possibles : la valeur interne est positive ou négative. Par exemple, |x| = a avec a ≥ 0 donne deux solutions possibles : x = a ou x = -a.
Pour les inéquations, comme |x| < a, on traduit cela par -a < x < a.
A retenir :
La valeur absolue représente la distance d'un nombre à zéro sur la droite des réels. La fonction valeur absolue est souvent utilisée pour simplifier l'étude des distances et est essentielle pour comprendre les comportements d'équations et d'inéquations. Les propriétés fondamentales incluent l'égalité |a * b| = |a| * |b| et l'inégalité triangulaire |a + b| ≤ |a| + |b|.
