Définition
Triangles semblables
Deux triangles sont dits semblables lorsque leurs angles correspondants sont égaux et les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.
Rapport de similitude
Le rapport de similitude est le rapport constant entre les longueurs des côtés correspondants de deux triangles semblables.
Agrandissement et Réduction
L'agrandissement et la réduction se rapportent aux transformations géométriques qui modifient la taille d'une figure géométrique tout en préservant sa forme. Quand une figure est agrandie ou réduite, elle est modifiée par un facteur de proportionnalité, également appelé rapport de similitude.
Agrandissement
Lorsqu'une figure, telle qu'un triangle, est agrandie, ses dimensions augmentent proportionnellement. Si un triangle ABC est agrandi selon un rapport de similitude k > 1, le triangle A'B'C' est une version agrandie du triangle ABC où chaque côté est multiplié par k.
Réduction
Dans le cas de la réduction, la figure subit un rétrécissement proportionnel de ses dimensions. Si un triangle DEF est réduit selon un rapport de similitude k, où 0 < k < 1, le triangle D'E'F' est une version réduite du triangle DEF.
Propriétés des Triangles Semblables
Pour que deux triangles soient semblables, il est suffisant de vérifier l'une des propriétés suivantes :
Égalité des angles
Deux triangles sont semblables si et seulement si leurs angles correspondants sont égaux. Cette propriété est souvent reconnue par le critère d'égalité des angles (AA).
Proportionnalité des côtés
Deux triangles sont semblables si leurs côtés correspondants sont proportionnels. Cela est le critère de proportionnalité (SSS ou SAS) : soit touts les côtés sont proportionnels (SSS), soit deux côtés sont proportionnels et l'angle compris entre eux est égal (SAS).
Exemples d’Utilisation des Triangles Semblables
Les triangles semblables sont souvent utilisés pour résoudre des problèmes pratiques impliquant des hauteurs ou des distances qui sont difficiles à mesurer directement. Par exemple :
Mesure de grandes hauteurs
Pour déterminer la hauteur d'une structure comme une tour ou un arbre, on peut utiliser un triangle semblable formé par une ombre projetée. En mesurant la longueur de l'ombre et l'angle d'incidence du soleil, on peut estimer la hauteur réelle grâce aux propriétés des triangles semblables.
Cartographie
En cartographie, l'utilisation de triangles semblables permet de représenter à l'échelle des formes géographiques tout en préservant les proportions entre elles, facilitant ainsi la navigation et l'analyse géographique.
A retenir :
Les triangles semblables sont des figures géométriques essentielles en mathématiques, avec des applications pratiques variées. Ils permettent de réaliser des agrandissements et des réductions tout en conservant la forme originale. Grâce à la compréhension des propriétés des triangles semblables, on peut résoudre de nombreux problèmes concrets en géométrie et dans le monde réel.
