Dans la cas d'un fluide

• les porteurs élémentaires (molécules, phonons, électrons, ...) sont caractérisés par des énergies de translation, de vibration-rotation, électroniques, ...

Dans le cas d'un solide

• les vecteurs élémentaires de l'énergie sont les phonons et les électrons libres.

Champ de température

• lorsque la température dépend du temps, on parle de régime thermique variable ou instationnaire
• lorsqu'elle ne dépend pas du temps, on parle de régime permanent ou stationnaire

Surfaces isothermes

• lieu où les points on la même température
• régime variable : surfaces mobiles et déformables
• régime permanent : surfaces invariantes

Flux de chaleur

Densité de flux de chaleur

–> le flux et la densité de flux sont des grandeurs vectorielles

–> la température est une grandeur scalaire

Lignes et tubes de courant

• exprime la proportionnalité de l'effet à la cause
• cause : gradient de température
• effet : flux de chaleur

Notion de résistance thermique

Conductivité thermique

• propriété thermophysique
• dépend de la morphologie des matériaux, de leur composition chimique, de leur état physique, de leur structure, de leur température et de la pression.
• dans un milieu anisotrope, elle s'exprime à l'aide d'un tenseur des conductivités :

• dans un milieu isotrope : λ = f(M,T)

–> dépend de la température et de la pression

• dans un milieu homogène : λ = λ₀(1+⍺T)

–> ne dépend que de la température

–> pour la plupart des solides, ⍺ est faible et négatif

Bilan énergétique

• la variation de la température du milieu est liée à la variation d'énergie interne qui s'écrit :

• Pour un volume V pendant dt on a :

• calcul de la quantité de chaleur Q₁ entrant à travers la surface S pendant dt
• le flux traversant dS dans le sens de la normale n s'écrit :

• le flux de puissance algébrique reçue par le corps qui travers S dans le sens opposé à n s'écrit :

• on en déduit :

• calcul de la quantité de chaleur Q₂ créée au sein du matériau pendant dt :

Ainsi :

Forme intégrale :

Forme locale :

Équation générale de la chaleur :

Simplifications de l'équation de la chaleur

• en régime permanent :

–> Équation de Poisson

• en régime permanent et sans source :

–> Équation de Laplace

• en régime instationnaire et sans source :

–> Équation de Fourier

• diffusivité thermique :

Mur plan semi-infini dont les faces sont des isothermes (figure 1)

• milieu homogène et isotrope limité par 2 plans parallèles
• TD : exercice 1

Mur plan avec conductivité dépendante de la température

• TEA : Exercice 3

Mur plan en contact avec deux fluides (figure 2)

• le flux est conservatif
• TD : Exercice 6

Murs accolés en contact avec deux fluides

• mur composé de plusieurs couches de matériaux d'épaisseur et de conductivité thermiques différentes
• la résistance thermique équivalente est la somme des résistances de chaque couche à laquelle est ajouté les résistances superficielles

Mur composite (figure 3)

Conduction avec production de chaleur (figure 4)

• TEA : Exercice 4

Conduction en coordonnées cylindriques (figure 5)

• TD : Exercice 5

Conduction en coordonnées sphériques (figure 6)

• TEA : Exercice 8