Définition
Graphe
Un graphe est un ensemble de nœuds, également appelés sommets, connectés par des liens appelés arêtes.
Sommet
Un sommet est une unité fondamentale du graphe représentant un objet ou une entité.
Arête
Une arête est un lien entre deux sommets dans un graphe, pouvant être orientée ou non orientée.
Graphe orienté
Un graphe où les arêtes possèdent une direction, allant d'un sommet initial à un sommet terminal.
Graphe non orienté
Un graphe où les arêtes n'ont pas de direction et permettent une connexion bidirectionnelle entre sommets.
Représentation des graphes
Listes d'adjacence
Les listes d'adjacence sont une façon de représenter un graphe en associant à chaque sommet une liste de sommets adjacents. Cette représentation est particulièrement efficace pour les graphes de faible densité d'arêtes.
Matrices d'adjacence
Les matrices d'adjacence sont des tableaux à double entrée où chaque élément indique la présence ou l'absence d'une arête entre deux sommets. Cette méthode est idéale pour les graphes denses mais consomme plus de mémoire.
Propriétés des graphes
Connexité
Un graphe est connexe si pour tout couple de sommets, il existe un chemin reliant ces sommets. Pour les graphes orientés, la connexité doit être envisagée dans les deux directions possibles.
Circuit et cycle
Un circuit est un chemin fermé dans un graphe, commençant et se terminant au même sommet. Un cycle est un circuit où tous les sommets intermédiaires sont distincts.
Coloration des graphes
La coloration d'un graphe est l'assignation de couleurs à ses sommets de telle manière que deux sommets adjacents n'aient pas la même couleur. Le nombre de couleurs nécessaires pour une telle coloration est appelé le nombre chromatique du graphe.
Applications de la théorie des graphes
Algorithmique des graphes
De nombreux algorithmes utilisent les graphes, notamment pour les trajets optimaux (algorithmes de Dijkstra et Bellman-Ford), la recherche de cycles Eulerien et Hamiltonien, ainsi que le problème de coloration.
Réseaux sociaux
Les réseaux sociaux sont modélisés en tant que graphes où les individus sont des sommets et les relations entre eux sont représentées par des arêtes, permettant des analyses poussées sur la connectivité et l'influence.
Principes de base de navigation sur Internet
Internet est souvent visualisé comme un vaste graphe où les nœuds représentent des pages Web et les arêtes sont les hyperliens entre ces pages, facilitant ainsi les moteurs de recherche dans la détermination des pages les plus pertinentes ou populaires.
A retenir :
La théorie des graphes permet de modéliser et d'analyser un vaste éventail de systèmes complexes où les relations entre les entités sont au moins aussi importantes que les entités elles-mêmes. La compréhension des propriétés fondamentales des graphes, comme la connexité, les circuits, et la coloration, ainsi que leur représentation efficace, fournit les bases pour explorer des applications pratiques allant de l'informatique théorique aux réseaux de communication et aux interactions sociales.
