Définition
Graphe
Un graphe est une structure composée d'un ensemble de nœuds (ou sommets) reliés entre eux par des arêtes (ou arcs). Les graphes peuvent être orientés ou non-orientés selon le type de relation entre les nœuds.
Nœud
Un nœud, ou sommet, est l'un des points discrets qui composent un graphe.
Arête
Une arête, ou arc, est un lien entre deux nœuds dans un graphe.
Graphe orienté
Un graphe est dit orienté si ses arêtes ont une direction, allant d'un nœud de départ à un nœud d'arrivée.
Graphe non orienté
Un graphe est non orienté si ses arêtes n'ont pas de direction, indiquant une relation bidirectionnelle entre les nœuds.
Représentation des graphes
Matrice d'adjacence
La matrice d'adjacence est une méthode courante pour représenter un graphe. C'est une matrice carrée de taille n x n, où n est le nombre de nœuds. L'entrée (i, j) est égale à 1 si une arête existe entre les nœuds i et j et 0 sinon. Dans le cas d'un graphe pondéré, l'entrée (i, j) peut représenter le poids de l'arête entre i et j.
Liste d'adjacence
La liste d'adjacence est une autre représentation des graphes, où chaque nœud maintient une liste de tous les nœuds adjacents. Cela est particulièrement avantageux pour les graphes clairsemés car cela économise de l'espace par rapport à la matrice d'adjacence.
Types de graphes
Graphes connexes
Un graphe est connexe s'il existe un chemin entre chaque paire de nœuds. Dans un graphe non orienté, cela signifie qu'il est possible de se déplacer entre n'importe quel nœud et un autre en suivant les arêtes du graphe.
Graphes complets
Un graphe est complet si chaque paire de nœuds est connectée par une arête. Cela signifie que chaque nœud est adjacent à tous les autres nœuds.
Graphes bipartis
Un graphe est biparti s'il est possible de diviser son ensemble de nœuds en deux sous-ensembles tels que chaque arête relie un nœud du premier sous-ensemble à un nœud du second sous-ensemble. Il n'y a pas d'arête connectant des nœuds au sein du même sous-ensemble.
Applications des graphes
Les graphes ont des applications variées dans plusieurs domaines. En informatique, ils sont utilisés pour représenter les réseaux de communication, les réseaux sociaux, les systèmes de transport et bien d'autres structures. Les algorithmes de parcours de graphe, comme l'algorithme de Dijkstra pour les plus courts chemins ou l'algorithme de Kruskal pour les arbres couvrants minimaux, sont essentiels pour résoudre une variété de problèmes pratiques.
A retenir :
La théorie des graphes est un domaine important de l'informatique et des mathématiques, qui étudie les structures reliant des nœuds par des arêtes. Les graphes peuvent être représentés de plusieurs façons, comme par les matrices d'adjacence ou les listes d'adjacence, et ils se déclinent en plusieurs types, tels que connexes, complets ou bipartis. Les graphes ont de nombreux usages pratiques, rendant leur étude cruciale pour la modélisation et la résolution de problèmes complexes dans divers champs.
