Le théorème de Pythagore est fondamental en géométrie euclidienne et s'énonce ainsi : dans tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux cathètes. Mathématiquement, si c représente la longueur de l'hypoténuse et a et b celles des cathètes, alors le théorème s'écrit : c² = a² + b².
Définition
Triangle rectangle
Un triangle est dit rectangle s'il possède un angle droit (90 degrés).
Hypoténuse
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit et il s'agit du plus long côté du triangle.
Cathètes
Les cathètes sont les deux côtés d'un triangle rectangle qui forment l'angle droit.
Enoncé du théorème de Pythagore
Preuves du théorème de Pythagore
Preuve géométrique
La preuve géométrique du théorème consiste à démontrer visuellement que les aires des carrés construits sur les cathètes totalisent l'aire du carré construit sur l'hypoténuse. Cette forme de preuve est souvent illustrée par la dissection et le réassemblage de carrés et de triangles pour montrer l'égalité des aires.
Preuve algébrique
Une autre manière de prouver le théorème de Pythagore est d'utiliser des relations algébriques pour démontrer que, dans un triangle rectangle, l'égalité c² = a² + b² tient toujours. Cette approche s'appuie sur la manipulation de sommes algébriques et de produits associatifs appliqués aux côtés du triangle.
Applications du théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore n'est pas seulement un outil théorique de la géométrie mais a aussi des applications pratiques variées. On l'emploie notamment dans les domaines de la construction, de l'architecture, et en physique pour déterminer des distances et pour résoudre divers problèmes de calculs vectoriels. Il est aussi fréquemment utilisé en trigonométrie pour établir des relations fondamentales entre les côtés d'un triangle rectangle.
Extensions et généralisation du théorème de Pythagore
Bien qu'il soit essentiellement appliqué aux triangles rectangles, le principe du théorème de Pythagore peut être étendu aux autres formes et dimensionnalités. Dans une géométrie non-euclidienne, le théorème peut voir des modifications. Par ailleurs, il a donné naissance à la loi des cosinus en trigonométrie qui pourra être utilisée sur n'importe quel type de triangle, pas seulement les rectangles.
A retenir :
Le théorème de Pythagore est un pilier fondamental de la géométrie qui relie les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Il englobe des preuves tant géométriques qu'algébriques et ses applications pratiques sont nombreuses dans divers domaines scientifiques et pratiques. Son étude permet de comprendre la relation entre les côtés d'un triangle rectangle, mais aussi de le généraliser par des lois utilisées dans des contextes plus complexes. Le théorème et ses extensions restent un point de départ essentiel dans l'étude avancée de la géométrie et de la trigonométrie.
