Définition
Suite
Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels. Elle associe à chaque entier un unique élément d'un ensemble, souvent numérique.
Suite numérique
Une suite numérique est une suite dont les termes sont des nombres réels ou complexes.
Terme général
Le terme général d'une suite est une expression qui permet de calculer n'importe quel terme de la suite en fonction de son rang n.
Types de suites numériques
Suites arithmétiques
Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme est égal au précédent augmenté d'un nombre constant appelé raison (notée "r"). Si (u_n) est une suite arithmétique, alors u_(n+1) = u_n + r. Le terme général est donné par : u_n = u_0 + n*r, où u_0 est le premier terme de la suite.
Suites géométriques
Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme est égal au précédent multiplié par une constante non nulle appelée raison (notée "q"). Si (v_n) est une suite géométrique, alors v_(n+1) = v_n * q. Le terme général est donné par : v_n = v_0 * q^n, où v_0 est le premier terme de la suite.
Comportement asymptotique des suites
Convergence et divergence
Une suite converge si elle se rapproche de plus en plus d'un nombre réel appelé limite lorsqu'on avance dans la suite. Si une suite ne converge pas, on dit qu'elle diverge. Par exemple, la suite (1/n) converge vers 0 lorsque n tend vers l'infini.
Suites adjacentes et suites extraites
Les suites adjacentes sont deux suites qui convergent vers la même limite de telle sorte que l'une soit toujours supérieure ou égale à l'autre. Une suite extraite est une suite formée à partir d'une autre suite en ne conservant que certains de ses termes, tout en respectant l'ordre initial.
Utilité des suites en mathématiques
Les suites sont des outils fondamentaux en mathématiques. Elles permettent de modéliser des phénomènes en physique, biologie et économie, où le comportement à long terme d'un processus est important. En analyse mathématique, elles servent à définir des concepts cruciaux comme la continuité et la dérivabilité d'une fonction.
A retenir :
Les suites sont des fonctions définies sur les entiers naturels, avec des termes souvent numériques. Elles peuvent être arithmétiques, avec des différences constantes entre les termes, ou géométriques, avec un rapport constant. Le comportement asymptotique des suites est central pour comprendre si elles convergent ou divergent, influençant leur utilité dans les applications pratiques pour modéliser des phénomènes concrets.
