Définition
Suite Arithmétique
Une suite arithmétique est une suite de nombres telle que la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante est appelée 'raison' de la suite.
Suite Géométrique
Une suite géométrique est une suite de nombres où le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Ce rapport est appelé 'raison' de la suite.
Rappels sur les suites
En mathématiques, une suite est une liste ordonnée d'éléments, souvent de nombres, qui obéissent à une certaine règle définie. Dans ce cours, nous nous intéressons aux suites arithmétiques et géométriques, qui sont deux types de suites numériques particulièrement importants.
Suites Arithmétiques
Considérons une suite arithmétique (u_n). La relation entre les termes consécutifs s'écrit: u_(n+1) = u_n + r, où r est la raison de la suite. Le premier terme est souvent noté u_0 ou u_1. La relation de récurrence donne alors pour tout entier n: u_n = u_0 + n*r, si u_0 est le premier terme. Exemple: Si u_0 = 3 et r = 2, alors u_n = 3 + 2n.
Les propriétés d'une suite arithmétique incluent le fait que la différence entre n'importe quel terme et le précédent est toujours la même. Cela signifie que la représentation graphique d'une suite arithmétique est une droite si l'on trace les termes en fonction de n. Le terme général et la somme des n premiers termes (notée S_n) peuvent être calculés: S_n = n/2 * (u_0 + u_(n-1)).
Suites Géométriques
Considérons maintenant une suite géométrique (v_n). Pour cette suite, chaque terme est le produit du précédent par un nombre constant appelé raison, noté q: v_(n+1) = v_n * q. Le premier terme de la suite est souvent noté v_0 ou v_1. La formule explicite du terme général est: v_n = v_0 * q^n.
Les suites géométriques ont des propriétés distinctes qui les différencient des suites arithmétiques. Par exemple, le rapport v_(n+1) / v_n est constant et égal à q. Sur un graphique où v_n est en fonction de n, les points de la suite géométrique forment une courbe exponentielle (croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1).
Pour calculer la somme des n premiers termes d'une suite géométrique, on utilise: S_n = v_0 * (1 - q^n) / (1 - q), pour q ≠ 1.
Comparaison entre Suites Arithmétiques et Géométriques
Bien que les suites arithmétiques et géométriques soient différentes par nature, elles partagent certaines similitudes. Toutes deux peuvent être définies par des relations de récurrence et des formules explicites. Cependant, dans une suite arithmétique, on ajoute une constante pour obtenir le terme suivant, tandis que dans une suite géométrique, on multiplie par une constante.
Les suites arithmétiques ont une croissance linéaire (ligne droite sur un graphique), alors que les suites géométriques affichent une croissance exponentielle ou décroissance suivant la valeur de q, mais sont particulièrement intéressantes dans l'étude des phénomènes de croissance exponentielle, tels que les intérêts composés ou la croissance démographique.
A retenir :
Les suites arithmétiques et géométriques jouent un rôle fondamental en mathématiques et s'appliquent à divers contextes réels. Les suites arithmétiques se caractérisent par leur croissance linéaire constante, où le même nombre est ajouté pour passer d'un terme au suivant. En revanche, les suites géométriques se distinguent par une constante multiplicative appliquée d'un terme au suivant, résultant souvent en une croissance ou décroissance exponentielle. Maîtriser leurs formules et comprendre leurs différences est essentiel pour avancer dans l'étude des mathématiques et pour leurs multiples applications pratiques.
