Définitions
Définition
Suite numérique
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels (ou complexes), notée généralement (u_n), où chaque élément est désigné par un indice n appartenant à l'ensemble des entiers naturels.
Suite arithmétique
Une suite est dite arithmétique si la différence entre chaque terme consécutif est constante. Cette différence constante est appelée la raison et est notée généralement r.
Suite géométrique
Une suite est dite géométrique si le rapport entre chaque terme consécutif est constant. Ce rapport constant est appelé la raison et est noté généralement q.
Produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs dans un espace euclidien est une opération qui associe un nombre (scalaire) à deux vecteurs. Il est noté généralement par ⟨u, v⟩ ou u • v.
Suites numériques
Définition et terminologie
Les suites numériques sont souvent présentées sous la forme (u_n), un étant le terme général de la suite, avec n désignant le rang du terme. La suite peut être finie ou infinie, selon le domaine d'étude.
Suite arithmétique
Dans une suite arithmétique, chaque terme s'obtient en ajoutant une constante, appelée raison, au terme précédent. Son terme général peut être exprimé par : u_n = u_0 + n*r où u_0 est le premier terme et r la raison.
Suite géométrique
Dans une suite géométrique, chaque terme s'obtient en multipliant le terme précédent par une constante, appelée raison. Le terme général d'une suite géométrique est donné par : v_n = v_0 * q^n où v_0 est le premier terme et q la raison.
Produits scalaires
Définition du produit scalaire
Pour deux vecteurs u et v de l'espace euclidien, leur produit scalaire est calculé comme suit : ⟨u, v⟩ = u1*v1 + u2*v2 + ... + un*vn, où ui et vi sont les composantes de u et v, respectivement. Ce calcul renvoie un nombre réel.
Propriétés du produit scalaire
Le produit scalaire présente plusieurs propriétés importantes : il est commutatif (⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩), bilinéaire, et positif (⟨u, u⟩ ≥ 0, avec égalité si et seulement si u est le vecteur nul).
Applications du produit scalaire
Le produit scalaire est utilisé pour déterminer l'orthogonalité de deux vecteurs (ils sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul) et pour calculer l'angle entre eux à l'aide de la formule : cos(θ) = ⟨u, v⟩ / (||u|| * ||v||), où ||u|| et ||v|| sont les normes de u et v.
A retenir :
Les suites numériques sont des suites de nombres réels, parmi lesquelles on distingue les suites arithmétiques et géométriques, caractérisées respectivement par une somme ou un produit constant entre termes consécutifs. Le produit scalaire est une opération essentielle sur les vecteurs, servant notamment à définir des propriétés d'orthogonalité et à calculer des angles entre vecteurs dans un espace euclidien.
