Suites arithmétiques et géométriques
Définition
Définition d'une suite
Une suite est une liste ordonnée de nombres, appelés termes, qui suivent une règle ou une formule pour passer d'un terme au suivant. Ces suites sont très utilisées en mathématiques pour modéliser des phénomènes ou pour effectuer des calculs précis.
Suites arithmétiques
Définition
Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?
Une suite arithmétique est une suite dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence est appelée la raison r de la suite.
Différence et raison
Définition
La différence (raison r)
La différence r, aussi appelée raison, est le nombre qu’on ajoute ou qu’on soustrait pour passer d’un terme au suivant dans une suite arithmétique. Par exemple, dans la suite 2, 5, 8, 11, la raison est 3.
Croissance et décroissance
Définition
Suites croissantes et décroissantes
Une suite est dite croissante si chaque terme est supérieur ou égal au terme précédent. Inversement, elle est décroissante si chaque terme est inférieur ou égal au terme précédent. Par exemple, la suite 3, 6, 9 est croissante, tandis que 9, 6, 3 est décroissante.
Somme des termes consécutifs et la moyenne arithmétique
Définition
Somme des termes consécutifs
La somme de deux termes consécutifs d'une suite arithmétique peut se calculer à l'aide de la formule : Si u_n est un terme, alors u_{n+1} = u_n + r.
Moyenne arithmétique
La moyenne arithmétique de deux nombres est la somme de ces deux nombres divisée par 2. Dans le contexte d'une suite arithmétique, la moyenne de deux termes consécutifs est égale à leur moyenne arithmétique, qui est aussi le terme situé au milieu si la suite est paire.
Représentation graphique des suites arithmétiques
Définition
Représentation graphique
Sur un graphique, une suite arithmétique apparaît sous la forme d’une droite qui a une pente constante correspondant à la raison r. Si la raison est positive, la courbe monte ; si elle est négative, elle descend.
Suites géométriques
Définition
Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?
Une suite géométrique est une suite où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant appelé la raison q.
Le quotient et la raison
Définition
Le quotient (ou raison q)
Dans une suite géométrique, le quotient q est le rapport entre un terme et le terme précédent, par exemple, dans la suite 3, 6, 12, 24, le quotient q = 2.
Croissance, décroissance et constante
Définition
Suites croissantes et décroissantes
Une suite géométrique est croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1, et constante si q = 1, où tous les termes sont égaux.
La moyenne géométrique
Définition
Moyenne géométrique
La moyenne géométrique de deux nombres positif a et b est égale à la racine carrée de leur produit, c’est-à-dire √(a×b). Elle est surtout utilisée pour comparer des ratios ou des proportions.
Représentation graphique des suites géométriques
Définition
Représentation graphique
Sur un graphique, une suite géométrique apparaît sous la forme d’une courbe exponentielle si q n’est pas égal à 1. Elle monte ou descend rapidement selon la valeur de q.
A retenir :
Les suites arithmétiques sont caractérisées par une différence constante entre leurs termes, ce qui produit une représentation graphique en ligne droite. La moyenne arithmétique intervient souvent pour calculer la valeur centrale de deux termes. Les suites géométriques, quant à elles, se caractérisent par un facteur multiplicatif constant, la raison q, et produisent une courbe exponentielle sur le graphique. La moyenne géométrique permet de comparer des ratios ou proportions de façon efficace. La compréhension des représentations graphiques facilite la visualisation des comportements des suites, qu’elles soient croissantes, décroissantes ou constantes.
