Définition
Suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme est obtenu en ajoutant un nombre constant, appelé raison, au terme précédent.
Suite géométrique
Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un nombre constant, appelé raison.
Fonction affine
Une fonction affine est une fonction polynomiale de degré un définie par f(x) = ax + b, où a et b sont des constantes.
Suites arithmétiques
Définition et propriétés
Une suite arithmétique se distingue par sa raison, notée 'r'. Si nous considérons une suite (u_n), chaque terme est défini comme suit : u_{n+1} = u_n + r. En conséquence, le terme général de la suite s'écrit : u_n = u_0 + n*r, où u_0 est le premier terme.
Exemples de suites arithmétiques
Considérons la suite définie par u_0 = 3 et r = 2. Les premiers termes seront : u_0 = 3, u_1 = 5, u_2 = 7, etc. Une autre exemple est la suite définie par u_0 = 10 et r = -1 : u_0 = 10, u_1 = 9, u_2 = 8, etc.
Séries associées
La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique peut être calculée par la formule : S_n = n/2 * (u_0 + u_{n-1}). Cette formule simplifie le calcul de la somme de termes consécutifs d'une telle suite.
Suites géométriques
Définition et propriétés
Une suite géométrique est caractérisée par sa raison 'q'. Une suite (v_n) vérifie v_{n+1} = v_n * q. Le terme général est donné par : v_n = v_0 * q^n, v_0 étant le premier terme.
Exemples de suites géométriques
Pour une suite géométrique avec v_0 = 2 et q = 3, les premiers termes seraient : v_0 = 2, v_1 = 6, v_2 = 18, etc. Considérons également v_0 = 5 et q = 0.5 : v_0 = 5, v_1 = 2.5, v_2 = 1.25, etc.
Séries associées
Pour calculer la somme des n premiers termes d'une suite géométrique, on utilise : S_n = v_0 * (1-q^n) / (1-q) si q ≠ 1. Sinon, la somme est simplement S_n = n * v_0.
Fonctions affines
Expression et propriétés
Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des réels. La représentation graphique d'une fonction affine est une droite dans le plan cartésien.
Rôle des coefficients a et b
Le coefficient 'a' est la pente de la droite. Si 'a' est positif, la fonction est croissante; si 'a' est négatif, la fonction est décroissante. Le coefficient 'b' représente l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire le point où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Intersection de fonctions affines
Pour trouver le point d'intersection de deux fonctions affines f(x) = ax + b et g(x) = cx + d, il suffit de résoudre l'équation ax + b = cx + d. Ceci donne le point où les deux droites se croisent.
A retenir :
Les suites arithmétiques et géométriques sont des successions de nombres définis respectivement par une addition ou une multiplication par une constante. Les premières sont identifiées par leur raison 'r', tandis que les secondes par 'q'. Les fonctions affines, quant à elles, sont des fonctions de forme linéaire définies par f(x) = ax + b, représentées graphiquement par des droites. Elles sont essentielles pour modéliser une croissance linéaire et comprendre les intersections entre différentes relations fonctionnelles.
