Definitions
Suite numérique
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels souvent notée (u_n) où chaque nombre u_n est appelé un terme de la suite.
Terme de rang n
Le terme de rang n d'une suite numérique (u_n) est le n-ième élément de cette suite.
Sens de variation
Le sens de variation d'une suite décrit comment les termes de la suite évoluent en fonction de leur rang. Une suite peut être croissante, décroissante ou constante.
Notion indicielles du terme de rang n de la suite u_n
Dans une suite numérique (u_n), chaque terme est identifié par son indice, n, qui est un nombre naturel. On peut exprimer le n-ième terme d'une suite par une formule telle que u_n = f(n), où f est une fonction qui associe à chaque entier naturel n un nombre réel.
Sens de variation d'une suite numérique
Le sens de variation d'une suite (u_n) est déterminé par la manière dont u_n évolue en fonction de n. Une suite est dite croissante si, pour tout n, u_n+1 ≥ u_n. Elle est décroissante si, pour tout n, u_n+1 ≤ u_n. Si u_n+1 = u_n pour tout n, la suite est constante. Une suite peut également être strictement croissante ou strictement décroissante si les inégalités sont strictes.
Suite arithmétique
Définition par la relation u_n+1 = u_n + r et la donnée du premier terme
Une suite arithmétique est une suite numérique (u_n) telle que la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante est appelée la raison de la suite et est notée r. La relation de récurrence caractéristique d'une suite arithmétique est u_n+1 = u_n + r. Le premier terme de la suite est souvent noté u_1.
Expression du terme de rang n en fonction du premier terme et de la raison
Le terme général de rang n d'une suite arithmétique peut être exprimé en fonction du premier terme u_1 et de la raison r par la formule : u_n = u_1 + (n-1) * r. Cette expression permet de calculer le n-ième terme de la suite sans avoir à calculer les termes précédents.
Lien avec les fonctions affines
Une suite arithmétique est liée aux fonctions affines car le terme général u_n peut être exprimé sous la forme d'une fonction affine de n : u_n = u_1 + (n-1) * r = r * n + (u_1 - r). Ici, la suite est perçue comme l'image d'une fonction affine de la variable n, l'indice.
Sens de variation d'une suite arithmétique
Le sens de variation d'une suite arithmétique dépend de la valeur de la raison r :
- Si r > 0, la suite est croissante.
- Si r < 0, la suite est décroissante.
- Si r = 0, la suite est constante.
Somme des n premiers termes d'une suite arithmétique
La somme S_n des n premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par la formule : S_n = (n / 2) * (u_1 + u_n). Cette formule découle de la propriété selon laquelle la somme des termes équidistants du début et de la fin d'une séquence est constante.
To remember :
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres, où chaque terme est identifié par un indice. Le sens de variation d'une suite décrit la manière dont ses termes évoluent. Les suites arithmétiques sont définies par la relation de récurrence u_n+1 = u_n + r, où r est une constante appelée raison. La formule générale pour le n-ième terme est u_n = u_1 + (n-1) * r, et la somme des n premiers termes est S_n = (n / 2) * (u_1 + u_n). Les suites arithmétiques peuvent être associées aux fonctions affines, illustrant comment la fonction de l'indice peut dicter le comportement de la suite.
