Définition
Suite de nombres
Une suite de nombres est une liste ordonnée de nombres réels, où chaque nombre a une position bien définie dans cette liste. Une suite est généralement notée (u_n), où n indique la position de l'élément dans la suite.
Suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite de nombres où la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence est appelée la raison de la suite.
Suite géométrique
Une suite géométrique est une suite de nombres où le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Ce rapport est appelé la raison de la suite.
Récurrence
Une suite est définie par récurrence lorsque chaque terme est exprimé en fonction des termes précédents.
Exemples et Explications
Considérons la suite suivante: 2, 5, 8, 11, ... C'est une suite arithmétique où chaque terme augmente de 3. La raison de cette suite est donc 3. En notation mathématique, si u_1 = 2, alors u_{n+1} = u_n + 3.
Prenons maintenant une suite géométrique: 3, 6, 12, 24, ... Chaque terme est le double du précédent. La raison de la suite est alors 2, et en notation mathématique, si u_1 = 3, alors u_{n+1} = u_n × 2.
Applications des suites
Les suites de nombres ont de nombreuses applications pratiques et théoriques. Dans le domaine des finances, les suites arithmétiques peuvent modéliser des économies régulières mensuelles, tandis que les suites géométriques peuvent représenter des intérêts composés. En mathématiques pures, elles servent à définir des séries et à étudier la convergence de celles-ci.
Résolution de problèmes
Pour résoudre des problèmes de suites, il est important d'abord d'identifier le type de suite à laquelle vous avez affaire et de déterminer la formule explicite ou récurrente. Par exemple, pour une suite arithmétique de raison r, la formule du terme général est u_n = u_1 + (n-1)r. Pour une suite géométrique de raison q, c'est u_n = u_1 * q^(n-1).
Cas particulier des suites définies par récurrence
Certaines suites sont définies uniquement par récurrence. Un exemple classique est la suite de Fibonacci, où chaque terme est la somme des deux termes précédents, avec u_1 = 1 et u_2 = 1. Ainsi, les premiers termes de cette suite sont: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... On utilise souvent l'induction mathématique pour prouver des propriétés concernant ces suites.
A retenir :
Les suites de nombres sont des outils précieux en mathématiques, cruciales pour comprendre une large gamme de phénomènes, qu'ils soient financiers ou purement mathématiques. Il est essentiel de maîtriser la différence entre suites arithmétiques et géométriques et de savoir appliquer leurs formules pour résoudre des problèmes pratiques et théoriques. Les suites définies par récurrence, comme la suite de Fibonacci, montrent la puissance des méthodes de récurrence et de l'induction mathématique.
