Définition
Suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle la différence entre deux termes consécutifs est constante, appelée 'raison'.
Raison
La raison d'une suite arithmétique est la différence constant entre deux termes consécutifs, souvent notée par 'r'.
Terme général
Le terme général d'une suite arithmétique est donné par la formule u_n = u_1 + (n-1)r, où u_1 est le premier terme et r la raison.
Représentation d'une suite arithmétique
La représentation d'une suite arithmétique peut se faire par une liste de ses premiers termes ou graphiquement par des points alignés simultanément. Si vous représentez graphiquement une suite arithmétique, les points correspondant aux termes de la suite seront alignés sur une droite. Cela résulte directement de la formule du terme général.
Calcul du terme général
Pour calculer le terme général d'une suite arithmétique, utilisez la formule u_n = u_1 + (n-1)r. Par exemple, si le premier terme est 3 et la raison est 2, alors le terme général est donné par u_n = 3 + (n-1)2.
Somme des termes d'une suite arithmétique
La somme des termes d'une suite arithmétique, notée S_n, est donnée par la formule S_n = n/2 × (u_1 + u_n), qui utilise le premier et le dernier terme. Cette formule provient de l'addition des termes équidistants de l'extrémité qui donne une double somme constante.
Propriétés des suites arithmétiques
Les suites arithmétiques possèdent plusieurs propriétés intéressantes :
1. La somme de deux suites arithmétiques est une suite arithmétique.
2. La différence entre deux suites arithmétiques est aussi une suite arithmétique.
3. Si tous les termes d'une suite arithmétique sont multipliés par un même nombre, le résultat est toujours une suite arithmétique.
Exemples et applications
Considérons une suite arithmétique dont le premier terme est 5 et la raison est 3: La suite est: 5, 8, 11, 14, ...
1. Calcul du terme général : u_n = 5 + (n-1)×3 = 3n + 2.
2. Calcul de la somme des 4 premiers termes: S_4 = 4/2 × (5 + 14) = 38.
A retenir :
Une suite arithmétique est déterminée par son premier terme et sa raison, qui est la différence constante entre deux termes consécutifs. Le terme général offre un moyen de calculer n'importe quel terme dans la suite, et les propriétés arithmétiques facilitent divers calculs de termes et de sommes de la suite.
