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Chapitre 3: Statistique et Variables
La statistique est la science qui utilise des données pour tirer des conclusions. Une variable est un élément d'une étude statistique qui peut prendre différentes valeurs. Dans ce chapitre, nous examinons les liens entre des variables quantitatives à travers des séries statistiques à deux variables.
Série Statistique à deux Variables
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Nuage de points
Dans un repère orthogonal, l'ensemble des points M de coordonnées (X1,Y1), (X2,Y2), ... avec 1 ≤ i ≤ N est appelé nuage de points associé à la série (X1, Y1, X2, Y2, ..., Xn, Yn). Ces points représentent graphiquement la relation entre les deux variables quantitatives X et Y observées dans une population de N individus.
Ajustement Affine
Interpolation et Extrapolation
L'objectif de l'ajustement affine est d'établir une approximation des valeurs inconnues à partir des valeurs observées dans une série statistique à deux variables. L'interpolation et l'extrapolation sont deux méthodes utilisées.
Extrapolation se réfère à la prévision de valeurs en dehors du domaine d'étude.
Interpolation, quant à elle, concerne les prévisions à l'intérieur du domaine d'étude.
La droite d'ajustement est tracée sur le graphique pour passer au plus près de tous les points du nuage.
Méthode de Mayer
Cet ajustement consiste à déterminer la droite passant par deux points moyens de la série statistique à deux variables. On note G1 avec les coordonnées (X̄, Ȳ) où X̄ et Ȳ sont les moyennes respectives des valeurs X et Y de la première partie des données. De même, G2 est défini pour la seconde partie. Cette méthode fournit une estimation initiale simple de l'ajustement linéaire.
Méthode des Moindres Carrés
La méthode des moindres carrés vise à minimiser la somme des carrés des distances entre les points de la série et la droite d'ajustement. Les coefficients a et b de l'équation de la droite Y = ax + b sont déterminés pour réduire cet écart. Le coefficient a est calculé par COV(X,Y) / VAR(X), et b est donné par Ȳ - aX̄.
Qualité de l'Ajustement
La qualité de l'ajustement exprime le degré de précision avec lequel X prédit Y. Elle est mesurée par le coefficient de détermination R², qui varie entre 0 et 1. Plus R² est proche de 1, meilleure est la corrélation entre X et Y, et plus l'ajustement est précis. Un R² de 0% indique qu'aucun élément de prévision n'est apporté par X sur Y, alors qu'à 100%, la connaissance de X prédit intégralement Y.
To remember :
Les séries statistiques à deux variables permettent d'analyser le lien entre deux variables quantitatives en utilisant différentes méthodes, telles que l'interpolation, l'extrapolation, et les ajustements linéaires. Le nuage de points offre une visualisation graphique, et l'ajustement affine, par des méthodes telles que celle des moindres carrés, permet de modéliser cette relation. La qualité de cet ajustement, mesurée par R², évalue la précision avec laquelle X est capable de prédire Y.
