Définition
Dérivée d'une fonction
La dérivée d'une fonction en un point est le nombre qui mesure la variation instantanée de la fonction à ce point. Elle est généralement notée f'(x) ou dy/dx.
Nombre dérivé
Le nombre dérivé d'une fonction f au point a, noté f'(a), est la limite du taux de variation de f lorsque le point se rapproche de a. C'est la pente de la tangente à la courbe représentative de f au point de coordonnée x=a.
Équation de la tangente
L'équation de la tangente à la courbe d'une fonction f au point d'abscisse a est y = f(a) + f'(a)(x - a).
Calcul de la dérivée
Le calcul de la dérivée d'une fonction repose sur des règles de base. La dérivée d'une constante est zéro. Pour une fonction polynomiale f(x) = ax^n, la dérivée est f'(x) = nax^(n-1). Les fonctions somme, différence, produit et quotient ont également leurs règles de dérivation respectives. Par exemple, la dérivée d'une somme de fonctions est la somme des dérivées de ces fonctions.
Interprétation géométrique de la dérivée
La dérivée d'une fonction en un point a a une interprétation géométrique: c'est la pente de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse a. Si la dérivée en ce point est positive, la fonction est croissante à proximité de a ; si elle est négative, la fonction est décroissante.
Équation de la tangente et applications
L'équation de la tangente permet de déterminer une droite qui touche la courbe en un point donné sans la croiser localement. Cela est très utile pour faire des approximations locales et pour étudier le comportement local d'une fonction. En pratique, on utilise l'équation de la tangente pour trouver des approximations linéaires des fonctions et pour comprendre la variation des phénomènes modélisés par ces fonctions.
Applications du nombre dérivé
Les nombres dérivés sont fondamentaux en analyse mathématique, particulièrement pour étudier les variations des fonctions. Ils permettent de déterminer les points critiques (maximum, minimum) et d'étudier la convexité ou concavité des courbes. Les applications pratiques incluent l'analyse de graphiques financiers, le calcul de vitesse instantanée en physique, et bien d'autres domaines nécessitant une mesure instantanée de la variation.
A retenir :
Les dérivées sont des outils mathématiques essentiels pour comprendre les variations instantanées des fonctions. Elles se calculent selon des règles précises et ont des interprétations géométriques importantes, notamment à travers l'équation de la tangente. Les dérivées permettent de modéliser des phénomènes variés et de réaliser des approximations précieuses pour l'étude des fonctions et leur comportement local.
