Définition
Définition
Le sens de variation d'une suite est la tendance que suivent les termes de la suite lorsqu'ils augmentent ou diminuent.
Le sens de variation d'une suite est un concept important en mathématiques. Il permet de déterminer si les termes d'une suite augmentent ou diminuent au fur et à mesure de leur rang. Comprendre le sens de variation d'une suite est essentiel pour analyser son comportement et en déduire diverses propriétés.
Pour déterminer le sens de variation d'une suite, il faut étudier la variation entre deux termes consécutifs. Si chaque terme est strictement supérieur (ou strictement inférieur) au terme précédent, la suite est dite strictement croissante (ou strictement décroissante). Si les termes peuvent être égaux, on parle de suite croissante (ou décroissante).
Pour vérifier le sens de variation d'une suite, on peut étudier le signe de la différence entre deux termes consécutifs. Si cette différence est positive, la suite est croissante, si elle est négative, la suite est décroissante.
Définition
Exemple
Considérons la suite (u_n) définie par u_n = 2n pour tout entier naturel n. Pour vérifier le sens de variation, calculons u_{n+1} - u_n :
u_{n+1} - u_n = 2(n+1) - 2n = 2n + 2 - 2n = 2
On constate que pour cette suite, u_{n+1} - u_n = 2 (une constante positive). Par conséquent, les termes de cette suite augmentent de manière constante. On peut donc dire que cette suite est strictement croissante.
Il est également important de noter que le sens de variation d'une suite peut dépendre du choix de l'indice de départ. Dans notre exemple, nous avons considéré un indice de départ à n = 0. Si nous avions commencé la suite à n = 1, nous aurions obtenu u_n = 2n + 2. Dans ce cas, la suite serait toujours croissante, mais elle ne serait plus strictement croissante.
A retenir :
Le sens de variation d'une suite détermine si les termes augmentent ou diminuent au fur et à mesure de leur rang. Il permet d'analyser le comportement de la suite et d'en déduire des propriétés. En étudiant la variation entre les termes consécutifs, on peut déterminer si la suite est croissante, décroissante ou si elle alterne entre les deux. Il est important de faire attention au choix de l'indice de départ, car cela peut influencer le sens de variation de la suite.
