Toute équation du second degré ax² + bx + c peut être réécrite sous forme canonique : a(x - α)² + β, où α = -b/(2a) et β = (4ac - b²)/(4a) ou β = f(α). Cette forme est utile pour étudier les propriétés géométriques de la parabole associée.
Définition
Équation du second degré
Une équation du second degré est une équation polynomiale de la forme ax² + bx + c = 0 où a, b et c sont des coefficients réels et a ≠ 0.
Discriminant
Le discriminant d'une équation du second degré est donné par △ = b² - 4ac. Il permet de déterminer le nombre et la nature des solutions de l'équation.
Racine du polynôme
Les racines d'un polynôme sont les valeurs de x qui annulent le polynôme, c'est-à-dire pour lesquelles le polynôme évalue à zéro.
Formes et solutions d'une équation du second degré
Forme canonique
Calcul et interprétation du discriminant
Le discriminant de l'équation △ = b² - 4ac est essentiel pour déterminer les solutions :
- Si △ > 0, l'équation admet deux solutions réelles distinctes.
- Si △ = 0, l'équation admet une solution réelle unique (racine double).
- Si △ < 0, l'équation n'a pas de solutions réelles mais deux solutions complexes conjuguées.
Axes et sommets d'une parabole
La parabole définie par y = ax² + bx + c a pour axe de symétrie la droite d'équation x = -b/(2a). Le sommet de la parabole est le point de coordonnées (α, β) où α = -b/2a et β est calculé selon la forme canonique. Le sommet est un minimum si a > 0 et un maximum si a < 0.
Résolution d'une équation du second degré
Pour résoudre une équation du second degré ax² + bx + c = 0, on utilise la formule quadratique : x = (-b ± √△)/(2a). Cette formule donne les solutions de l'équation en fonction du discriminant.
Comprendre le polynôme du second degré
Le polynôme du second degré est une fonction polynomiale de degré deux. Sa représentation graphique est une parabole, et il est défini par f(x) = ax² + bx + c. Ce polynôme a des propriétés de symétrie autour de son axe vertical passant par le sommet de la parabole.
Applications pratiques
Les équations du second degré apparaissent fréquemment dans de nombreux contextes scientifiques et techniques. Par exemple, elles peuvent modéliser la trajectoire d'un projectile, l'acoustique des salles, et bien d'autres problèmes où les relations quadratiques sont pertinentes.
A retenir :
Les équations du second degré sont fondamentales en mathématiques, car elles décrivent de nombreuses relations et phénomènes naturels. Comprendre comment calculer et interpréter le discriminant est essentiel pour déterminer le nombre et la nature des solutions possibles d'une équation donnée. Le passage à la forme canonique est particulièrement utile pour étudier les propriétés géométriques du polynôme et des solutions associées. Enfin, la robustesse de ce concept permet de l'appliquer à un large éventail de problèmes, allant de la physique aux sciences sociales.
