Géométrie dans l'espace
Vecteur normal plan = vecteur orthogonal ( perpendiculaire ) a tous les vecteur du plan , donc deux vecteur qui définissent plan :
pour savoir : calcul produit scalaire du dit Vecteur avec les 2 vecteur du plan : 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑗 = xAB * xJ + yAb * yJ + zAB * zJ ( si résultat égal a 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑗 alors j est vecteur normal du plan ABC)
Pour savoir si deux droites sont parallèles :
→ Il faut vérifier si les vecteurs directeurs des deux droites sont colinéaires (donc l’un est un multiple de l’autre).
On cherche un réel λ tel que : AC =λu ( (xAC,yAC,zAC)=λ(xu,yu,zu))
Cela donne un système de 3 équations.
Résoudre le système :
Vecteur directeur d’une droite (à partir de sa représentation paramétrique) :
→ Une droite en représentation paramétrique s’écrit sous la forme :
x=x0+at
y=y0+bt
z=z0+ct
Le vecteur directeur de la droite est : u⃗=(a,b,c)
Déterminer l'angle entre deux vecteurs
On sait que la formule du produit scalaire c'est : u * v = ∥u∥ × ∥v∥ x cos(θ) (comme on cherche cos(0) bha on inverse et on a ) :
cos(θ)= u * v / ∥u∥ × ∥v∥
Donc calcul de U.V = produit scalaire ( xu * xv + yu ect....)
Calcul ∥u∥ et ∥v∥ ( Normes de vecteur ) = √x²+y²+z²
Ensuite une fois cos(0) calculer on utilise arccos(résultat de cos(0)) et finit
Un point X est le projeté orthogonale d'un point A ? :
Si X est projeté orthogonal de A sur une droite (d) alors AX est un perpendiculaire a la droite (d) donc : AX.u(vecteur directeur de (d) ) = 0
Pour déterminer le point X on utilise l'équation paramétrique de la droite pour avoir X(x0+t⋅a, y0+t⋅b, z0+t⋅c)
Une fois AX.u fait on résous l'équation pour trouve t puis on remplace t dans l'équation paramétrique de la droite ( ici (d) ) pour trouver les coordonnée de X
Pour savoir : quels sont les points d'une droite (d) à distance R d'un point O :
Écrire un point générique M(t) de la droite (paramétrique).
Calculer ∥OM(t)∥²
Puis résoudre l'équation avec ∥ 𝑂𝑀(𝑡)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥= R (distance depuis le point O)
Pour avoir les différent point d'intersection entre le Cercle de centre
Géométrie dans l'espace
Vecteur normal plan = vecteur orthogonal ( perpendiculaire ) a tous les vecteur du plan , donc deux vecteur qui définissent plan :
pour savoir : calcul produit scalaire du dit Vecteur avec les 2 vecteur du plan : 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑗 = xAB * xJ + yAb * yJ + zAB * zJ ( si résultat égal a 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝑗 alors j est vecteur normal du plan ABC)
Pour savoir si deux droites sont parallèles :
→ Il faut vérifier si les vecteurs directeurs des deux droites sont colinéaires (donc l’un est un multiple de l’autre).
On cherche un réel λ tel que : AC =λu ( (xAC,yAC,zAC)=λ(xu,yu,zu))
Cela donne un système de 3 équations.
Résoudre le système :
Vecteur directeur d’une droite (à partir de sa représentation paramétrique) :
→ Une droite en représentation paramétrique s’écrit sous la forme :
x=x0+at
y=y0+bt
z=z0+ct
Le vecteur directeur de la droite est : u⃗=(a,b,c)
Déterminer l'angle entre deux vecteurs
On sait que la formule du produit scalaire c'est : u * v = ∥u∥ × ∥v∥ x cos(θ) (comme on cherche cos(0) bha on inverse et on a ) :
cos(θ)= u * v / ∥u∥ × ∥v∥
Donc calcul de U.V = produit scalaire ( xu * xv + yu ect....)
Calcul ∥u∥ et ∥v∥ ( Normes de vecteur ) = √x²+y²+z²
Ensuite une fois cos(0) calculer on utilise arccos(résultat de cos(0)) et finit
Un point X est le projeté orthogonale d'un point A ? :
Si X est projeté orthogonal de A sur une droite (d) alors AX est un perpendiculaire a la droite (d) donc : AX.u(vecteur directeur de (d) ) = 0
Pour déterminer le point X on utilise l'équation paramétrique de la droite pour avoir X(x0+t⋅a, y0+t⋅b, z0+t⋅c)
Une fois AX.u fait on résous l'équation pour trouve t puis on remplace t dans l'équation paramétrique de la droite ( ici (d) ) pour trouver les coordonnée de X
Pour savoir : quels sont les points d'une droite (d) à distance R d'un point O :
Écrire un point générique M(t) de la droite (paramétrique).
Calculer ∥OM(t)∥²
Puis résoudre l'équation avec ∥ 𝑂𝑀(𝑡)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥= R (distance depuis le point O)
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