CHAPITRE 4 : Equations de droites  Partie 1 : Vecteur directeur et équation cartésienne d’une droite 1. Vecteur directeur Définition :                                                       d 𝑑 est une droite du plan. On appelle vecteur directeur de 𝑑 tout vecteur non nul 𝑢 ⃗ qui possède la même direction que la droite 𝑑.  Méthode : Déterminer graphiquement un vecteur directeur d’une droite  Donner des vecteurs directeurs des droites d1, d2, d3 et d4.  Correction  Pour d1 : On choisit un vecteur qui possède la même direction que la droite d1. Par exemple : 𝑎 ( 1 2) convient. 𝑏 ⃗ ( 2 4) ou 𝑐 (−1 −2) sont également des vecteurs directeurs de d1.  Pour d2 : 𝑢 ⃗ ( 6 0) convient.  Pour d3 : 𝑣 ( 1 −1) convient.  Pour d4 : 𝑤 ⃗⃗ ( 0 2) convient.  2. Équation cartésienne d'une droite Définition : Toute droite admet une équation de la forme 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0, avec (𝑎 ;𝑏)≠(0 ;0).  Cette équation est appelée équation cartésienne de la droite. Propriété : Le vecteur 𝑢 ⃗ (−𝑏 2 sur 8 𝑎𝑥 +𝑏𝑦+𝑐 =0. 𝑎 ) est un vecteur directeur de la droite d’équation cartésienne Démonstration au programme : Soit 𝐴(𝑥0 𝑦0 ) un point de la droite 𝑑 et 𝑢 ⃗ (𝛼 𝛽) un vecteur directeur de 𝑑. Un point 𝑀(𝑥 𝑦) appartient à la droite 𝑑 si et seulement si les vecteurs 𝐴𝑀 ⃗ (𝑥 − 𝑥0 sont colinéaires, soit 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑀 ⃗ ;𝑢 ⃗ ) = 0 soit encore |𝑥 − 𝑥0 𝛼 𝑦 −𝑦0 ) et 𝑢 ⃗ (𝛼 𝛽) 𝑦 −𝑦0 𝛽|=0. Donc : 𝛽(𝑥 −𝑥0)−𝛼(𝑦−𝑦0) = 0 𝛽𝑥 −𝛽𝑥0 −𝛼𝑦+𝛼𝑦0 =0 𝛽𝑥 −𝛼𝑦+𝛼𝑦0−𝛽𝑥0 =0 Cette équation peut s'écrire : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 avec 𝑎 = 𝛽 et 𝑏 = −𝛼 et 𝑐 = 𝛼𝑦0 −𝛽𝑥0. Les coordonnées de 𝑢 ⃗ sont donc (𝛼 𝛽) = (−𝑏 𝑎 ). Exemple : Un vecteur directeur de la droite d’équation cartésienne 4𝑥 − 5𝑦 − 1 = 0 est le vecteur de coordonnées (5 4). En effet, 𝑎 = 4 et 𝑏 = −5 donc (−𝑏 𝑎 )=(5 4). Méthode : Déterminer une équation cartésienne de droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur a) Déterminer une équation cartésienne de la droite 𝑑 passant par le point 𝐴( 3 1) et de vecteur directeur 𝑢 ⃗ (−1 5 ). b) Déterminer une équation cartésienne de la droite 𝑑′ passant par les points 𝐵 ( 5 3) et 𝐶 ( 1 Correction a) 𝑑 admet une équation cartésienne de la de la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0.  Comme 𝑢 ⃗ (−1 5 ) est un vecteur directeur de 𝑑, on a : (−1 Soit 𝑎 = 5 et 𝑏 = 1. Une équation de 𝑑 est donc de la forme 5𝑥 + 1𝑦 + 𝑐 = 0.  Pour déterminer 𝑐, il suffit de substituer les coordonnées ( 3 1) de 𝐴 dans l'équation : 5 ×3+1×1+𝑐=0 15 +1+𝑐 =0 16 +𝑐 =0 𝑐 =−16 −3). 5 )=(−𝑏 𝑎 ) 3 sur 8 Une équation de 𝑑 est donc 5𝑥 + 1𝑦 − 16 = 0. Remarque : Une autre méthode consiste à utiliser le déterminant : b) ● 𝐵 et 𝐶 appartiennent à 𝑑’ donc 𝐵𝐶 ⃗ est un vecteur directeur de 𝑑′. On a : 𝐵𝐶 ⃗ ( 1−5 −3−3)=(−4 −6) = (−𝑏 𝑎 ). Donc 𝑎 = −6 et 𝑏 = 4. Une équation cartésienne de 𝑑′ est de la forme : −6𝑥 + 4𝑦 + 𝑐 = 0.  𝐵( 5 3) appartient à 𝑑′ donc : −6× 5+4× 3+𝑐 = 0 donc 𝑐 = 18. Une équation cartésienne de 𝑑′ est : −6𝑥 + 4𝑦 + 18 = 0 ou encore −3𝑥 + 2𝑦 +9 = 0. Méthode : Tracer une droite à partir de l'équation cartésienne Tracer la droite 𝑑 d’équation cartésienne 3𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0. Correction Pour tracer une droite, il suffit de connaître un point appartenant à la droite et un vecteur directeur.   On choisit le point d’abscisse 0 : Comme 𝑥 = 0, on remplace 𝑥 par 0 dans l’équation et on calcule la valeur de 𝑦 correspondante : 3 ×0+2𝑦−5=0 2𝑦 =5 𝑦 =5 2 =2,5 Le point 𝐴 de coordonnées ( 0 2,5 ) appartient à la droite 𝑑.  𝑎=3 et 𝑏 =2 donc (−𝑏 𝑎 ) = (−2 𝑢 ⃗ (−2 3 ). 3 ) est un vecteur directeur de 𝑑. On trace la droite 𝑑 passant par le point 𝐴( 0 2,5 ) et de vecteur directeur 𝑢 ⃗ (−2 3 ). 3. Position relative de deux droites Propriété : Dire que deux droites sont parallèles équivaut à dire qu’elles ont des vecteurs directeurs colinéaires. Méthode : Déterminer la position relative des deux droites Démontrer que les droites 𝑑1 et 𝑑2 d’équations respectives 6𝑥 − 10𝑦 − 5 = 0 et  −9𝑥 +15𝑦 =0 sont parallèles. 4 sur 8 Correction Le vecteur 𝑢 ⃗ ( 10 6 ) est un vecteur directeur de la droite 𝑑1. Le vecteur 𝑣 (−15 −9 ) est un vecteur directeur de la droite 𝑑2. Calculons 𝑑𝑒𝑡(𝑢 ⃗ ;𝑣 ) : 𝑑𝑒𝑡(𝑢 ⃗ ;𝑣 ) = | 10 −15 6 −9 |=10×(−9)−6× (−15)=0 Donc 𝑢 ⃗ et 𝑣 sont colinéaires et donc les droites 𝑑1 et 𝑑2 sont parallèles. Partie 2 : Équation réduite et pente d'une droite 1. Équation réduite Exemple : Soit 𝑑 dont une droite d'équation cartésienne 4𝑥 + 𝑦 − 6 = 0. On a alors : 4𝑥 +𝑦 =6 𝑦 =−4𝑥+6 Cette équation est appelée l’équation réduite de la droite 𝑑. Propriété : Soit une droite 𝑑. - Si 𝑑 est parallèle à l’axe des ordonnées : alors l’équation de 𝑑 est de la forme 𝑥 = 𝑛. - Si 𝑑 n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées : alors l’équation de 𝑑 est de la forme 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝. Cette équation est appelée équation réduite de la droite 𝑑. Démonstration :  Si 𝑏 ≠ 0, alors l'équation cartésienne 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 de la droite 𝑑 peut être ramenée à une équation réduite 𝑦 = −𝑎 𝑏 𝑥 − 𝑐 𝑏 . Et on note 𝑚 = −𝑎 𝑏 et 𝑝 = −𝑐 𝑏 .  Si 𝑏 = 0, alors l'équation cartésienne 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 de la droite 𝑑 peut être ramenée à l’équation 𝑥 = − 𝑐 𝑎 . Dans ce cas, la droite 𝑑 est parallèle à l’axe des ordonnées. Exemples :  L’équation 𝑦 = −4𝑥 +6 est l’équation réduite d’une droite avec : 𝑚=−4 et 𝑝 = 6.  L’équation 𝑥 = 5 est l’équation d’une droite parallèle à l’axe des ordonnées avec : 𝑛 =5. 5 sur 8 Méthode : Passer d’une équation cartésienne à l’équation réduite et réciproquement a) Soit la droite 𝑑 d’équation cartésienne 6𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0. Déterminer l’équation réduite de 𝑑. b) Soit la droite 𝑑’ d’équation réduite 𝑦 = 6𝑥 − 5. Déterminer une équation catésienne de 𝑑′. Correction a) On veut exprimer l’équation sous la forme 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Il s’agit donc d’isoler 𝑦 dans l’équation. 6𝑥 +3𝑦−5=0 3𝑦 =−6𝑥+5 𝑦 =−6𝑥+5 3 𝑦 =−2𝑥+ 5 3 : équation réduite de 𝑑. b) On veut exprimer l’équation sous la forme 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0. Il s’agit donc de ramener tous les termes de l’équation dans le membre de gauche. 𝑦 =6𝑥−5 −6𝑥 +𝑦+5=0 : équation cartésienne de 𝑑’. Vocabulaire :  - 𝑚 est appelé la pente ou le coefficient directeur de la droite 𝑑. - 𝑝 est appelé l’ordonnée à l’origine de la droite 𝑑. Remarque : Dans l’équation réduite, on retrouve l’expression d’une fonction affine. Exercice : Donner la pente (coefficient directeur) et l’ordonnée à l’origine de chacune des droites d’équations :  a) 𝑦 = −2𝑥 + 3   Réponses a) Pente : −2   Ordonnée à l’origine : 3    b) 𝑦 = 5        b) Pente : 0 c) 4𝑥 + 2𝑦 = 1 Ordonnée à l’origine : 5 c) L’équation peut s’écrire sous sa forme réduite : 𝑦 = −2𝑥 + 1 2 Pente : −2 Ordonnée à l’origine : 1 2 Méthode : Représenter graphiquement une droite d’équation réduite donnée Dans un repère, tracer les droites 𝑑1 , 𝑑2 et 𝑑3 d’équations respectives : 𝑦 =2𝑥+3, 𝑦 = 4, 𝑥 =3. Correction 6 sur 8 ● - La droite 𝑑1 d’équation 𝑦 = 2𝑥 + 3 a pour ordonnée à l’origine 3. Donc le point de coordonnée ( 0 3) appartient à la droite 𝑑1. - On choisit le point d’abscisse 2 : Comme 𝑥 = 2, on remplace 𝑥 par 2 dans l’équation et on calcule la valeur de 𝑦 correspondante : 𝑦 =2×2+ 3=7. Le point de coordonnées ( 2 7) appartient à d1. On peut ainsi tracer la droite 𝑑1 passant par ces deux points. ● La droite 𝑑2 d’équation 𝑦 = 4 est l’ensemble des points dont l’ordonnée est égale à 4. La droite 𝑑2 est donc la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par le point de coordonnées ( 0 4). ● La droite 𝑑3 d’équation 𝑥 = 3 est l’ensemble des points dont l’abscisse est égale à 3. La droite 𝑑3 est donc la droite parallèle à l’axe des ordonnées passant par le point de coordonnées ( 3 0). Méthode : Vérifier si un point appartient à une droite d’équation donnée Les points 𝐴 ( 6 39) et 𝐵( 346 2420) appartiennent-ils à la droite 𝑑 d’équation 𝑦 = 7𝑥 − 3 ? Correction  Dire que le point 𝐴( 6 39) appartient à la droite 𝑑 d’équation 𝑦 = 7𝑥 − 3 revient à dire que les coordonnées de 𝐴 vérifient l’équation de la droite 𝑑. Ce qui est le cas, puisque 𝑦 = 7 × 6 − 3 = 39. Le point 𝐴 appartient donc à la droite 𝑑.  Les coordonnées de 𝐵 ( 346 2420) ne vérifient pas l’équation de la droite 𝑑. En effet : 7 × 346 −3 = 2419 ≠ 2420 donc le point 𝐵 n’appartient pas à la droite 𝑑. Remarque : Pour démontrer que 3 points A, B et C sont alignés, il suffit de montrer par exemple que le point A vérifie l’équation de la droite (BC). 2. Pente d’une droite Propriété : Si 𝐴(𝑥𝐴 7 sur 8 𝑦𝐴 ) et 𝐵(𝑥𝐵 droite a pour pente (ou coefficient directeur) 𝑚 = 𝑦𝐵−𝑦𝐴 𝑦𝐵 ) sont deux points distincts d’une droite tel que 𝑥𝐴 ≠ 𝑥𝐵 alors la . 𝑥𝐵−𝑥𝐴 Méthode : Déterminer une équation réduite de droite dont on connaît deux points Soit 𝐴( 4 −1) et 𝐵( 3 5) deux points d’une droite 𝑑. Déterminer une équation de la droite 𝑑. Correction L’équation réduite de la droite 𝑑 est de la forme 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝.  La pente (coefficient directeur) de 𝑑 est : 𝑚 = 𝑦𝐵−𝑦𝐴 𝑥𝐵−𝑥𝐴 L’équation de 𝑑 est donc de la forme : 𝑦 = −6𝑥 + 𝑝. = 5−(−1) 3−4 = 6 −1 =−6.  Comme 𝐴( 4 −1) appartient à la droite d, ses coordonnées vérifient l’équation de 𝑑. Soit : −1 = −6×4+𝑝. D’où 𝑝 = −1 +6×4 = 23. L’équation réduite de 𝑑 est donc : 𝑦 = −6𝑥 + 23. ALGORITHME TP avec Python : Déterminer une équation de droite passant par deux points donnés https://www.maths-et-tiques.fr/telech/Algo_EqDroite.pdf 3. Position relative de deux droites Propriété : Soient deux droites d’équations réduites 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑝 et 𝑦 = 𝑚′𝑥 + 𝑝′. Dire que les droites sont parallèles revient à dire que leurs pentes sont égales (𝑚 = 𝑚′). Remarque : Lorsque les pentes sont différentes, les droites sont sécantes. Exemple : Les droites 𝑑1 et 𝑑2 d’équations respectives 𝑦 = 3𝑥 + 4 et 𝑦 = 3𝑥 + 9 sont parallèles car elles ont la même pente égale à 3. Méthode : Déterminer la position relative de deux droites Dans chaque cas, déterminer la position relative des deux droites : a) 𝑑1: 𝑦 = −2𝑥 −5  et   𝑑2:𝑦 = −2𝑥+4 b) 𝑑3: 𝑦 = 2𝑥 +1   et   𝑑4:𝑦 = −3𝑥+8 c) 𝑑5: 𝑦 = −𝑥 +7   et   𝑑6:𝑦 = 3 d) 𝑑7: 𝑥 = 1       et   𝑑8:𝑥 =−8 Correction 1) Les droites 𝑑1 et 𝑑2 sont parallèles car elles ont la même pente égale à −2. 2) Les droites 𝑑3 et 𝑑4 sont sécantes car elles ont des pentes différentes 2 et −3. 3) Les droites 𝑑5 et 𝑑6 sont sécantes car elles ont des pentes différentes −1 et 0. 4) Les droites 𝑑7 et 𝑑8 sont parallèles car elles sont parallèles à l’axe des ordonnées.