- f est une endomorphisme linéaire si f va de E dans lui-même
- la matrice associé est une matrice carrée (n lignes, n colonnes)
- f : E --> F une application linéaire
- kerf est l'ensemble de départ
- imf est l'ensemble d'arrivée
Endomorphisme
Comment trouver les valeurs propres de λ?
- Polynôme caractéristique
- Chercher les zéros
- Factoriser
- Le déterminant du polynôme caractéristique est un invariant pour un endomorphisme.
- Pour f un endomorphisme de E, ses valeurs propres sont les zéros de son polynôme caractéristique.
Caractérisation du polynôme caractéristique
- PA(X) est un polynôme en X de degré n, à coefficients dans K tel que :
- le coefficient de Xn est (-1)n
- le coefficient de Xn-1 est (-1)n-1trA
- le coefficient de X0 est detA , soit la constante du polynôme
Remarque : Si dans un exercice, on nous demande le detA après avoir calculé PA(X), alors detA=PA(0)
Multiplicité des valeurs propres
- λ une valeur propre de A.
- La multiplicité algébrique de λ est la multiplicité en tant que zéro du polynôme caractéristique PA(X).
- Elle est notée m( λ).
- 1 ⩽ dimEλ ⩽ mλ
- dimEλ est la multiplicité géométrique.
Diagonalisation
- Une matrice A est diagonalisable lorsqu'elle est semblable à une matrice diagonale
- A = POP-1
- f est un endomorphisme de E, si f à n valeurs propres différentes alors f est diagonalisable.
Trigonalisation
- Moins bien que la diagonalisation mais utile pour les applications.
- Un endomorphisme f de E est trigonalisable sur K s'il existe une base C de E dans laquelle sa matrice associée est triangulaire.
- Dans ce cours elle sera soit supérieure, mais elle peut également être inférieure.
Polynôme minimal
Théorème de Cayley-Hamilton : PA(A) = 0n (matrice nulle)
- Q est un polynôme annulateur pour A si Q(A)=0n (matrice nulle).
- PA(X) = det(A-Xidn) est un polynôme annulateur de A.
- ∏A(X) est le polynôme annulateur minimal de A.
- Pour toute matrice carrée de A, il existe un unique polynôme ∏A(X) tel que :
- ∏A(X) divise PA(X),
- A annule ∏A(X),
- tout polynôme annulateur de A est multiple de ∏A(X),
- ∏A(X) est unitaire donc ∏A(X) = 1.Xd + pd-1.Xd-1 + ... + p1.X + p0.
- Les zéros de ∏A(X) sont les valeurs propres de A.
Sous espaces caractéristiques
- Pour toute valeur propre λ de A, on appelle sous espace caractéristique associé à λ le noyau :
Fλ = ker((A-λid)mλ) avec mλ la multiplicité algébrique
