Réciproque du théorème de Thalès
Le théorème de Thalès est un résultat fondamental en géométrie qui permet de déduire des propriétés de similitude entre des triangles. Mais il existe également une réciproque à ce théorème, qui permet de vérifier si deux triangles sont semblables en utilisant les rapports de longueurs de leurs côtés.
Définition
Définition
La réciproque du théorème de Thalès s'énonce de la façon suivante : si dans un triangle ABC et un triangle A'B'C' on a les rapports de longueurs suivants :
AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'
Définition
Alors
les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.
La démonstration de la réciproque du théorème de Thalès est basée sur l'utilisation des propriétés des triangles semblables. En effet, si les rapports de longueurs des côtés sont égaux, alors les triangles ont des angles correspondants égaux et les côtés correspondants sont proportionnels.
Ainsi, si le rapport de longueurs des côtés d'un triangle ABC est égal au rapport de longueurs des côtés correspondants d'un triangle A'B'C', alors les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.
Il est important de noter que la réciproque du théorème de Thalès ne s'applique pas systématiquement. En effet, pour que les triangles soient semblables, il faut que les rapports de longueurs des côtés soient égaux pour TOUS les côtés du triangle.
Exemple d'application
Pour illustrer l'utilisation de la réciproque du théorème de Thalès, prenons l'exemple suivant :
Soit les triangles ABC et DEF, avec les longueurs des côtés suivantes :
AB = 6 cm, BC = 9 cm, AC = 12 cm
DE = 4 cm, EF = 6 cm, DF = 8 cm
On peut calculer les rapports de longueurs des côtés comme suit :
AB/DE = 6/4 = 1.5, BC/EF = 9/6 = 1.5, AC/DF = 12/8 = 1.5
Comme les rapports de longueurs des côtés sont tous égaux à 1.5, on peut en déduire que les triangles ABC et DEF sont semblables.
A retenir :
En conclusion, la réciproque du théorème de Thalès permet de vérifier si deux triangles sont semblables en comparant les rapports de longueurs de leurs côtés. Si les rapports de longueurs sont égaux pour TOUS les côtés, alors les triangles sont semblables. Ce résultat est très utile en géométrie pour étudier les figures et résoudre des problèmes de proportions.
