Définition
Endomorphisme
Un endomorphisme est une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même.
Matrice d'un endomorphisme
La matrice d'un endomorphisme est la matrice qui représente cet endomorphisme par rapport à une base donnée de l'espace vectoriel.
Réduction
La réduction d'un endomorphisme est le processus qui consiste à trouver une base de l'espace vectoriel dans laquelle la matrice de l'endomorphisme prend une forme particulièrement simple, souvent triangulaire ou diagonale.
Polynôme caractéristique et polynôme minimal
Pour réduire un endomorphisme, on commence souvent par calculer son polynôme caractéristique. Ce polynôme nous donne des informations sur les valeurs propres de l'endomorphisme. Le polynôme minimal est également crucial car il permet de déterminer la structure de l'espace vectoriel vis-à-vis de l'endomorphisme. Le théorème de Cayley-Hamilton indique que tout endomorphisme annule son polynôme caractéristique.
Diagonalisabilité
Un endomorphisme est dit diagonalisable s'il existe une base de l'espace vectoriel dans laquelle sa matrice est diagonale. Cela est possible si et seulement si le polynôme minimal est scindé sur le corps des scalaires et que toutes ses racines sont simples. En d'autres termes, chacune des valeurs propres a une multiplicité algébrique égale à sa multiplicité géométrique.
Forme triangulaire
Lorsque la diagonalisabilité n'est pas possible, une possibilité est de réduire l'endomorphisme à une forme triangulaire supérieure. Cela signifie que l'on cherche une base de l'espace vectoriel telle que la matrice de l'endomorphisme soit à forme triangulaire, avec les valeurs propres sur la diagonale et des coefficients quelconques au-dessus de celle-ci.
Forme de Jordan
La forme de Jordan est une généralisation de la diagonalisabilité qui s’applique même si l’endomorphisme n’est pas diagonalisable. Ici, la matrice de l'endomorphisme est presque diagonale, constituée de blocs appelés blocs de Jordan, qui correspondent à chaque valeur propre et prennent en compte la multiplicité géométrique et algébrique.
Algorithme de réduction
Pour réaliser la réduction d'un endomorphisme, on peut suivre un algorithme qui commence par le calcul du polynôme caractéristique, la détermination des valeurs propres et des espaces propres, et enfin la recherche de la forme de Jordan pour les cas non diagonalisables. Dans certains cas, cela peut impliquer la recherche de chaînes de vecteurs propres et l'organisation de celles-ci en blocs de Jordan appropriés.
A retenir :
La réduction d'un endomorphisme est une technique fondamentale en algèbre linéaire qui permet de simplifier l'étude des endomorphismes en les ramenant à une forme plus simple, comme la forme diagonale ou de Jordan. Les concepts clés incluent la compréhension des polynômes caractéristique et minimal, les conditions de diagonalisabilité, et l'utilisation de la forme triangulaire lorsque nécessaire. Ces techniques sont essentielles pour l'analyse de la structure interne des espaces vectoriels et des transformations linéaires qui s'y appliquent.
