Définition
Probabilité
La probabilité est une mesure de la vraisemblance qu'un événement se produise, exprimée sous la forme d'un nombre entre 0 et 1.
Variable aléatoire
Une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue possible d'une expérience aléatoire.
Loi de probabilité
La loi de probabilité d'une variable aléatoire est une fonction qui donne les probabilités associées à chaque valeur possible de la variable aléatoire.
Variables aléatoires discrètes finies
Les variables aléatoires discrètes prennent un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Les lois de probabilité qui leur sont associées décrivent la distribution des probabilités sur cet ensemble de valeurs distinctes.
Lois de Bernoulli et binomiale
La loi de Bernoulli est une loi de probabilité simple qui modélise une expérience comportant exactement deux issues possibles, souvent appelées 'succès' et 'échec'. Si une variable aléatoire suit une loi de Bernoulli, la probabilité de succès 'p' est constante pour chaque essai, et en conséquence, la probabilité d’échec est '1 - p'.
La loi binomiale est associée à une suite d'expériences indépendantes de Bernoulli. Ainsi, si on considère 'n' répétitions d'une expérience de Bernoulli avec probabilité de succès 'p', la variable aléatoire qui compte le nombre de succès parmi les 'n' expérimentations suit une distribution binomiale.
Variables aléatoires discrètes infinies
Contrairement aux variables discrètes finies, les variables discrètes infinies peuvent prendre un nombre infini de valeurs, bien que dénombrables. Deux distributions notables dans cette catégorie sont la loi géométrique et la loi de Poisson.
Loi géométrique
La loi géométrique est une distribution qui modélise le nombre d'épreuves nécessaires pour obtenir le premier succès dans une séquence d'épreuves de Bernoulli indépendantes. La probabilité qu'un succès survienne à la k-ième épreuve est donnée par P(X = k) = (1-p)^(k-1) * p, où 'p' est la probabilité de succès lors d'une seule épreuve.
Loi de Poisson
La loi de Poisson est adaptée pour modéliser le nombre de fois qu'un événement se produit dans un intervalle de temps fixe ou dans une zone donnée, lorsque ces événements se produisent avec une moyenne constante connue. La probabilité de k événements en un intervalle est donnée par P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!, où 'λ' est le taux d'événements attendu par intervalle.
Variables aléatoires continues
Les variables aléatoires continues peuvent prendre toutes les valeurs d'un intervalle de nombres réels. Contrairement aux variables discrètes, elles sont associées à des fonctions de densité de probabilité qui doivent être intégrées sur un intervalle pour obtenir la probabilité d'occurrence d'un événement.
Lois normales
La loi normale, souvent représentée par une courbe en cloche, est caractérisée par sa moyenne et son écart type. C'est une des lois les plus centrales en probabilités et en statistiques en raison de son rôle significatif dans le théorème central limite. Elle est définie par la fonction de densité de probabilité : f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2)), où μ est la moyenne et σ est l'écart type.
Lois de Student, du Chi-deux et de Fisher
Ces trois lois sont utilisées principalement dans le cadre de tests statistiques et d'inférences.
La loi de Student est utilisée pour estimer avec prudence les moyennes lorsque la taille de l'échantillon est petite et que la variance de la population est inconnue.
La loi du Chi-deux est utilisée pour évaluer l'adéquation d'un modèle théorique avec un modèle observé, fréquemment employée dans les tests d'hypothèse sur la variance.
La loi de Fisher, ou loi F, est un rapport de deux variances normales et est largement utilisée dans le test d'analyse de la variance (ANOVA) pour étudier les écarts entre plusieurs groupes.
Théorème Central Limite
Le théorème central limite stipule que la distribution de la somme (ou moyenne) de nombreuses variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées convergera vers une distribution normale, quelle que soit la distribution d'origine de ces variables. Ce principe fondamental permet d'appliquer la loi normale dans de nombreux contextes pratiques.
A retenir :
En probabilités, il est essentiel de comprendre la différence entre les variables aléatoires discrètes et continues, ainsi que les lois fondamentales qui les régissent. Les lois de Bernoulli et binomiale s'appliquent aux variables discrètes finies, tandis que les lois géométrique et de Poisson concernent les variables discrètes infinies. Les variables continues sont régies par des densités de probabilité, la loi normale étant centrale grâce au théorème central limite. Les lois de Student, Chi-deux et Fisher sont essentielles pour l'inférence statistique et les tests d'hypothèses.
