P(A) : Probabilité de l’évènement A.
• P(Ā) ou P(∁A) : Probabilité de l’évènement contraire de A, donc de ne pas avoir A.On peut aussi dire que Ā c’est l’univers moins A.
Définition
PROBA CONDITIONELLE
s’intéresse à la probabilité de réalisation d’un évènement A à condition qu’un autre évènement B ait déjà été réalisé.
ATTENTION bien faire la différence entre probabilité conditionnel
et probabilité del’intersection A∩B
A retenir :
Théorème de la multiplication : P(A ∩ B) = P(B ∩ A) = P(A|B). P(B) = P(B|A). P(A)
D’après le théorème de la multiplication : P(A ∩ B ∩ C ) = P(A).P(A|B). P(C/B∩A) EN GROS QUAND TU TIRE UNE PROBA LE 1ER C'EST L'EVENT A PUIS ENSUITE EN PRENANT EN COMPTE LE 1ER TIRAGE ON MULTIPLIE AVEC B ET AINSI DE SUITE
Diagramme en arbre (arbre de probabilité)
- probabilité qu’un chemin particulier de l’arbre se réalise, est d’après le théorème de la multiplication le produit des probabilités de chaque branche du chemin
- Les chemins s’excluent mutuellement
- La somme des finalités des probabilités de toutes les finalités doit être égale à 1
.THEORÈME DE BAYES
En médecine, le théorème de bayes est utilisé pour résoudre les problèmes d’aide au diagnostic.
Définition
PARTITION
Une partition de Ω est une subdivision de Ω en sous-ensembles disjoints dont la réunion forme Ω. Par définition les Ai s’excluent mutuellement et leur union est Ω :
EVENEMENT INDÉPENDANT
Définition
:Deux évènements sont indépendants si : P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
P(A|B) = P(A) et P(B|A) = P(B)
INDÉPENDANCE ET INCLUSION
A∁B:A est inclus dans Bdonc P(A∩B)=P(A)
Remarque : on a P(A ∩ B) = P(B|A) × P(A) avec la proba de B sachant A égale à 1, car A étant inclus dans B on est certain d’avoir B !
⚠ A et B ne sont PAS indépendants ⚠
EXCLUSION :
- Si (A ∩ B) = ∅, alors A et B sont exclusif, disjoints, incompatible et P(A ∩ B) = 0 (attentionaux synonymes), donc P(A|B) = P(B|A) = 0.
⚠ A et B ne sont PAS indépendants ⚠MAIS INCOMPATIBLES
Attention : il ne faut pas confondre les évènements
incompatibles et évènements indépendants
.
A retenir :
- Les évènements incompatibles ne font pas intervenir leur probabilité. Ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
DIFFERENT DES EVENEMENTS INDEPENDANTS LIÉ À LEUR PROBA
RAPPEL : P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
