Définition
Polynôme de second degré
Un polynôme de second degré est une expression algébrique de la forme ax^2 + bx + c, où a, b et c sont des coefficients, et a ≠ 0.
Discriminant
Le discriminant d'un polynôme du second degré, noté Δ, est donné par la formule Δ = b² - 4ac. Il permet de déterminer la nature des racines du polynôme.
Racines
Les racines d'un polynôme de second degré sont les valeurs de x pour lesquelles le polynôme est égal à zéro.
Expression et formes
Un polynôme de second degré peut être exprimé sous différentes formes :
- La forme développée : ax^2 + bx + c
- La forme canonique : a(x - α)^2 + β
- La forme factorisée : a(x - x1)(x - x2), si le polynôme admet deux racines réelles distinctes.
Étude du discriminant
Le discriminant Δ d'un polynôme de second degré ax^2 + bx + c permet de déterminer le nombre et la nature des racines :
- Si Δ > 0, le polynôme a deux racines réelles distinctes.
- Si Δ = 0, le polynôme a une racine réelle double.
- Si Δ < 0, le polynôme n'a pas de racine réelle mais deux racines complexes conjugées.
Calcul des racines
Les racines d'un polynôme ax^2 + bx + c se calculent à l'aide de la formule :
- Si Δ ≥ 0 : x1 = (-b + √Δ) / (2a) et x2 = (-b - √Δ) / (2a)
Somme et produit des racines
Pour un polynôme de la forme ax^2 + bx + c, la somme des racines est donnée par -b/a et le produit des racines par c/a. Ces relations sont utiles pour retrouver les racines dans des équations symétriques.
Étude de la fonction polynôme
La parabole représentative d'un polynôme de second degré peut être étudiée pour identifier son sommet, son axe de symétrie et son orientation (concavité) :
- Le sommet a pour coordonnées (α, β), où α = -b/(2a) et β est calculé en substituant α dans l'expression du polynôme.
- L'axe de symétrie est la droite x = α.
- La concavité est tournée vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0.
A retenir :
Un polynôme de second degré est de la forme ax^2 + bx + c, où le discriminant Δ = b² - 4ac aide à déterminer le nombre et la nature des racines. La forme développée, canonique, et factorisée sont trois expressions essentielles, chaque forme étant utilisée selon le contexte. Le calcul des racines dépend du signe du discriminant, et leurs propriétés sont décrites par la somme -b/a et le produit c/a. Enfin, la parabole qui représente un polynôme de second degré possède un sommet, un axe de symétrie défini par x = -b/(2a), et une direction indiquée par le signe de 'a'.
