Définition
Récursivité
La récursivité est une méthode de résolution de problèmes où la solution dépend des solutions plus simples du même problème.
Algorithme
Un algorithme est une suite finie d'instructions ou d'étapes permettant de résoudre un problème ou d'effectuer une tâche.
Fonction Factorielle
Une fonction factorielle est une fonction mathématique qui multiplie un nombre entier positif et tous les entiers positifs inférieurs à lui. Elle est notée n!.
PGCD
Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux entiers est le plus grand entier qui divise les deux nombres sans laisser de reste.
Comprendre la Récursivité
La récursivité est souvent utilisée dans la programmation pour résoudre des problèmes qui peuvent être décomposés en sous-problèmes similaires. Une fonction récursive est une fonction qui s'appelle elle-même pour résoudre ces sous-problèmes.
Un aspect crucial de la récursivité est la définition de cas de base. Les cas de base sont les conditions qui terminenent la récursion, empêchant ainsi une boucle infinie. Lorsqu'un cas de base est atteint, la fonction cesse de s'appeler elle-même et commence à retourner des valeurs aux appels précédents.
Exemples de Fonctions Récursives
Fonction Factorielle
La fonction factorielle est un exemple classique de récursion. La factorielle de n (n!) est définie comme le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à n.
Voici comment la fonction factorielle peut être définie récursivement :
Fonction Factorielle(n):
- Si n est égal à 0, retourner 1.
- Sinon, retourner n multiplié par Factorielle(n-1).
Par exemple, Factorielle(5) = 5 * Factorielle(4) = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120.
Fonction PGCD
Le calcul du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux nombres utilise aussi souvent la récursivité à travers l'algorithme d'Euclide.
Voici comment la fonction PGCD peut être définie récursivement :
Fonction PGCD(a, b):
- Si b est égal à 0, retourner a.
- Sinon, retourner PGCD(b, a modulo b).
Ce programme utilise le fait que le PGCD de deux nombres a et b est le même que le PGCD de b et le reste de la division de a par b. Par exemple, PGCD(48, 18) appelle PGCD(18, 48 modulo 18) qui simplifie à PGCD(18, 12), et ainsi de suite jusqu'à ce que b soit égal à 0.
Construction d'Algorithmes Récursifs
Construire des algorithmes récursifs requiert une compréhension claire du problème à résoudre et de la manière de le décomposer en sous-problèmes similaires.
Pour constituer un algorithme récursif, suivez ces étapes fondamentales:
- Identifiez les cas de base qui arrêteront la récursion.
- Définissez la relation entre le problème courant et ses sous-problèmes.
- Assurez-vous que chaque appel récursif réduit la taille du problème progressivemment pour atteindre le cas de base.
A retenir :
La récursivité permet de résoudre des problèmes complexes en les décomposant en sous-problèmes simples. La définition de cas de base est fondamentale pour éviter les boucles infinies. Des exemples notables de fonctions récursives incluent la fonction factorielle et le calcul du PGCD avec l'algorithme d'Euclide. Construire un algorithme récursif nécessite de penser en termes de relations entre problèmes et sous-problèmes, en dirigeant l'exécution vers un cas de base déterminant.
