Nombres dérivés
Les nombres dérivés constituent un concept fondamental en mathématiques, notamment en analyse et en calcul différentiel. Ils permettent de décrire le taux de variation d'une fonction en un point donné. Comprendre les nombres dérivés est essentiel pour étudier les notions de vitesse, d'accélération, de pente de tangente, ainsi que l'optimisation des fonctions.
Définition
Définition
Nombre dérivé
Le nombre dérivé d'une fonction f en un point donné a est noté f'(a) ou dy/dx|x=a et est défini comme la limite de la variation de f lorsque x tend vers a, divisée par la variation de x, lorsque cette limite existe. Mathématiquement, cela peut être exprimé comme suit :
f'(a) = limh→0[(f(a+h) - f(a))/h]
Définition
Interprétation géométrique
Géométriquement, le nombre dérivé d'une fonction en un point correspond à la pente de la tangente à la courbe représentative de la fonction en ce point.
Si la courbe est croissante en un point, le nombre dérivé est positif. S'il est décroissant, le nombre dérivé est négatif. Si la courbe est horizontale, le nombre dérivé est nul.
Règles de dérivation
Définition
Dérivée d'une constante
La dérivée d'une constante c est toujours nulle, car la variation de la fonction est constante et donc son taux de variation est nul.
Dérivée d'une fonction linéaire
La dérivée d'une fonction linéaire f(x) = mx est égale à la pente m de la fonction. Par conséquent, la dérivée d'une fonction affine est constante.
Dérivée de la somme de deux fonctions
La dérivée de la somme de deux fonctions f(x) + g(x) est égale à la somme des dérivées de ces fonctions individuelles. Mathématiquement, cela peut être exprimé comme suit :
(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)
Définition
Dérivée du produit de deux fonctions
La dérivée du produit de deux fonctions f(x) * g(x) est donnée par la formule du produit de Leibniz :
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
Conclusion
A retenir :
Les nombres dérivés sont essentiels pour étudier les variations des fonctions et calculer leur taux de variation en un point donné. Ils fournissent des informations précieuses sur la pente des courbes et permettent de résoudre de nombreux problèmes concrets dans divers domaines scientifiques. Comprendre les règles de dérivation est une aptitude indispensable pour progresser en mathématiques et dans de nombreuses autres disciplines.
