Définition
Nombre complexe
Un nombre complexe est un nombre de la forme z = a + ib où a et b sont des réels et i est l'unité imaginaire avec la propriété i² = -1.
Partie réelle
La partie réelle d'un nombre complexe z = a + ib est a, notée Re(z).
Partie imaginaire
La partie imaginaire d'un nombre complexe z = a + ib est b, notée Im(z).
Conjugué d'un nombre complexe
Le conjugué d'un nombre complexe z = a + ib est \overline{z} = a - ib.
Représentation des nombres complexes
Les nombres complexes peuvent être représentés de manière graphique dans un plan appelé plan complexe. Dans ce plan, l'axe des abscisses (horizontal) représente la partie réelle des nombres complexes, tandis que l'axe des ordonnées (vertical) représente la partie imaginaire.
Module d'un nombre complexe
Définition
Module
Le module d'un nombre complexe z = a + ib est noté |z| et est défini par |z| = \sqrt{a^2 + b^2}.
Le module d'un nombre complexe correspond à la distance entre le point représentant ce nombre dans le plan complexe et l'origine de ce plan. C'est une généralisation de la notion de valeur absolue pour les réels.
Argument d'un nombre complexe
Définition
Argument
L'argument d'un nombre complexe z = a + ib, noté arg(z), est l'angle θ que fait le vecteur représentant z avec l'axe des abscisses dans le plan complexe, mesuré en radians.
L'argument d'un nombre complexe est crucial pour la conversion d'une forme algébrique à une forme trigonométrique ou exponentielle. En pratique, l'argument est souvent calculé à partir des fonctions trigonométriques. Par exemple, on peut utiliser tan(θ) = b/a pour un nombre complexe non nul z = a + ib.
Formes des nombres complexes
Forme algébrique
La forme algébrique d'un nombre complexe z est exprimée comme z = a + ib où a est la partie réelle et b est la partie imaginaire.
Forme trigonométrique
Un nombre complexe z peut aussi être représenté sous une forme trigonométrique : z = |z|(cos(θ) + i sin(θ)) où |z| est le module de z et θ est l'argument.
Forme exponentielle
La forme exponentielle utilise la formule d'Euler et s'écrit z = |z|e^{iθ}. Cette forme est particulièrement utile lors des multiplications et divisions de nombres complexes.
Opérations sur les nombres complexes
Addition et soustraction
Pour ajouter ou soustraire des nombres complexes, on additionne ou soustrait séparément les parties réelles et les parties imaginaires. Par exemple, si z_1 = a + ib et z_2 = c + id, alors z_1 + z_2 = (a+c) + i(b+d) et z_1 - z_2 = (a-c) + i(b-d).
Multiplication
Pour multiplier deux nombres complexes z_1 = a + ib et z_2 = c + id, on utilise la formule : z_1 z_2 = (ac - bd) + i(ad + bc). Cette opération préserve la forme algébrique.
Division
La division de deux nombres complexes se fait généralement en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Pour z_1 = a + ib et z_2 = c + id, on a : \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a+ib)(c-id)}{c^2 + d^2}.
A retenir :
Les nombres complexes sont des extensions des nombres réels et sont utilisés pour résoudre des équations qui n'ont pas de solutions réelles. Ils peuvent être représentés graphiquement dans le plan complexe, correspondant à des vecteurs avec une partie réelle et une partie imaginaire. Chaque nombre complexe possède un module et un argument, qui facilitent leur représentation en forme trigonométrique ou exponentielle, tout en rendant les calculs plus commodes, notamment pour les multiplications et divisions.
