Définition
Coefficient binomial
Le coefficient binomial, noté C(n, k) ou (n k), est un nombre qui apparaît dans le développement du binôme de Newton. Il représente le nombre de façons de choisir k éléments parmi n sans tenir compte de l'ordre.
Combinaison
Une combinaison est un moyen de sélectionner des éléments d'un ensemble, sans tenir compte de l'ordre de sélection.
Factorielle
La factorielle d'un nombre n, notée n!, est le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à n. Par exemple, 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
Propriétés du Coefficient Binomial
Le coefficient binomial possède plusieurs propriétés intéressantes qui facilitent les calculs et les applications combinatoires. Par exemple, la relation symétrique C(n, k) = C(n, n-k) montre que choisir k éléments parmi n est équivalent à choisir n-k éléments à écarter. De plus, le triangle de Pascal illustre la récurrence C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k).
Applications du Coefficient Binomial
Le coefficient binomial est très utilisé pour résoudre des problèmes de probabilités et de dénombrement. Par exemple, dans le contexte des probabilités, il permet de calculer la probabilité de tirer exactement k succès dans n essais, ce qui est la base de la distribution binomiale. En combinatoire, il aide à évaluer le nombre de sous-ensembles possibles d'un ensemble donné.
Calcul du Coefficient Binomial
Le calcul du coefficient binomial C(n, k) se fait généralement à l'aide de la formule suivante : C(n, k) = n! / (k! (n-k)!). Cette formule s'appuie sur la notion de factorielle et permet de déterminer le nombre total de combinaisons possibles pour un ensemble donné.
A retenir :
Le concept de coefficient binomial est essentiel en mathématiques, notamment en combinatoire et en théorie des probabilités. Le coefficient, noté C(n, k), calcule le nombre de manières de sélectionner k objets parmi n sans ordre. Sa formule repose sur les factorielles : C(n, k) = n! / (k! (n-k)!). Les propriétés telles que la symétrie C(n, k) = C(n, n-k) et sa représentation dans le triangle de Pascal illustrent sa beauté et son utilité. Ce coefficient joue un rôle majeur dans la distribution binomiale en probabilités et est fondamental pour les dénombrements en mathématiques discrètes.
