Partielo | Mécanique du Solide

2. Elasticité

La théorie de l'élasticité : c'est lorsque les contraintes σ sont proportionnelles aux déformations ε. Cette relation (loi de Hooke) est linéaire :

σ_ij = C_ijkl ε_kl (2 tenseurs d'ordre 2, 1 tenseur d'ordre 4)

et est valable pour des petites déformations (<10^-4). Bonne hypothèse dans le cas de la propagation des ondes sismiques qui font des déplacements de l'ordre du micron ! (il existe aussi des exceptions...)

C_ijkl : tenseur élastique (réduction de 81 à 21 éléments indépendants / symétries). Si l'on veut connaître toutes les propriétés du milieu à l'intérieur du manteau terrestre → il faudrait connaître 81 éléments du tenseur C
Matériau isotrope : propriétés ne dépendent pas de la direction → ll n'y a que 2 éléments indépendants (voir partie Lamé)

Les paramètres élastiques (relation du stress σ & strain)

Module de Young Y :

Y (GPa) = σ / ε

capacité du milieu ou du sol à se déformer

Module de Poisson ν :

ν = - ε_xx / ε_zz

décrit la relation ente la déformation longitudinale (dans la direction de la défo) et la déformation transversale (perpendiculaire à la défo).

NB. ν = 0.5 (solide incompressible) ; en sismologie, ν = 0.25.

Module de cisaillement G :

G = σ_xy / (2 * ε_xy)

→ Mesure la force nécessaire pour changer la forme de la roche traversée sans changer le volume. G = 0 pour les liquides. La vitesse associée est la vitesse des ondes de cisaillement

Vs = sqrt(mu/rho)

Module de rigidité (ou d'incompressibilité volumique) K :

Propriété du milieu. Relie la pression et le volume (contrainte sur la déformation) → quand la P° augmente, le volume diminue.

K = - P / (dV / V)

→ Force par unité de volume nécessaire pour changer le volume sans changer la forme. La vitesse sismique associé est similaire à la vitesse du son :

Vphi = sqrt(k/rho) avec rho la densité du milieu.

Nb. C'est des propriétés que l'on peut obtenir en laboratoire sur des roches dans différentes conditions de P°/T°C.

Coefficients de Lamé λ et μ :

Permet de lier le stress et le strain indépendamment de l'axe choisi. Deux seuls éléments indépendants qui caractérisent le milieu élastique uniquement si le matériau est considéré comme isotrope.

σ = λ(εxx + εyy + εzz) Id + 2 ε μ

En remplaçant la matrice identité par une indice de Kronecker (manière plus élégante pour exprimer des opération de sélection de composants).

σ_ij = λ δ_ij + 2 μ ε_ij

A retenir :

Cas isotropique : 2 paramètres décrivent le comportement élastique d'un milieu.

G peut être exprimé avec Y et ν : G = Y / (2(1 + ν)).

K peut être relié par Y et ν : K = Y / (3(1 - 2ν))

Cpdt, pour un fluide incompressible : dV = 0 donc K = ∞ et 1 - 2ν = 0

À certains endroits de la Terre, le milieu n'est certainement pas isotrope !

En résolvant l'équation des ondes, on s'aperçoit qu'on fait apparaître deux types d'ondes (vp et vs) avec :

vp = sqrt( lambda + 2mu / rho) et vs = sqrt(mi / rho) avec vs < vp

Conditions aux limites

Free surface (surface libre) : le stress normal et shear parallèle à la surface sont nuls. Cela signifie que la normale à la surface libre est la direction principale des contraintes avec la contrainte prinicpal égale à 0.

Milieu anisotrope

Plusieurs type d'anisotropie selon la structure cristallographique des minéraux. Par ex. olivine = orthorhombique et la glace = hexagonale. Ce sont les deux types de structures les + rencontrés dans la sismo terrestre (car + de 50% du manteau → Ol).

Ol : svt approximée par un symétrie hexagonale pr simplifier les paramètres de 9 à 5.
Post-perovskite : à la base du manteau de structu. orthorhombique.

Aniso : très svt obs dans le manteau sup du coup.