Définition
Définition d'une matrice
Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres organisés en lignes et colonnes. Les éléments de la matrice sont souvent notés a_{ij}, où i représente la ligne et j la colonne.
Déterminant
Le déterminant est une valeur scalaire qui peut être calculée à partir d'une matrice carrée et qui donne des informations sur la matrice, comme sa singularité et son volume de transformation.
Transposée
La transposée d'une matrice est obtenue en échangeant ses lignes et ses colonnes.
Matrice carrée inversible
Une matrice carrée est dite inversible si elle possède une matrice inverse, c’est-à-dire une matrice qui, multipliée par elle, donne la matrice identité.
Propriétés des Matrices
Une matrice peut être caractérisée par plusieurs propriétés clés. Les matrices sont utilisées pour représenter et résoudre des systèmes d'équations linéaires, pour effectuer des transformations linéaires, et dans de nombreuses applications mathématiques et physiques.
Calcul du Déterminant
Le déterminant d'une matrice carrée est crucial dans l'étude des matrices, car il permet de déterminer si la matrice est inversible. Un déterminant non nul implique que la matrice est inversible. Pour une matrice 2x2, le déterminant est calculé comme ad - bc pour une matrice [[a, b], [c, d]].
Transposée d'une Matrice
La transposée d'une matrice, notée souvent A^T pour une matrice A, est formée en échangeant les lignes et les colonnes. Par exemple, la transposée de [[1, 2], [3, 4]] est [[1, 3], [2, 4]]. Cette opération est utilisée dans de nombreuses transformations linéaires et dans le calcul des produits scalaires en algèbre matricielle.
Matrices Carrées Inversibles
Une matrice carrée est inversible si elle possède une inverse telle que A * A^(-1) = I, où I est la matrice identité. La condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice soit inversible est que son déterminant soit non nul.
Systèmes d'Équations Linéaires et Matrices
Définition
Définition d'un système linéaire
Un système linéaire est un ensemble d'équations linéaires à plusieurs inconnues.
Écriture Matricielle d'un Système
Les systèmes d'équations linéaires peuvent être écrits sous forme matricielle, ce qui simplifie leur résolution. Par exemple, le système ax + by = e et cx + dy = f peut être exprimé comme une matrice multipliée par un vecteur, exprimé sous la forme principale AX = B, où A est la matrice des coefficients, X est le vecteur des inconnues, et B est le vecteur des solutions.
Résolution avec la Matrice Inverse
Si une matrice A est inversible, le système AX = B peut être résolu pour X en multipliant les deux côtés par la matrice inverse de A, c'est-à-dire X = A^(-1)B. Cela suppose que A^(-1) existe, ce qui implique que le déterminant de A n'est pas nul.
Systèmes de Cramer
Un système de Cramer est un système d'équations linéaires où le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues, et où la matrice des coefficients a un déterminant non nul. Ce type de système admet une solution unique pouvant être calculée directement grâce aux formules de Cramer, basées sur les déterminants.
