Définition
Fonction
Une fonction est une relation qui associe chaque élément d'un ensemble de départ (appelé "domaine") à un élément unique d'un ensemble d'arrivée.
Représentation graphique
C'est une manière de visualiser une fonction en traçant son graphe dans un repère cartésien, où l'axe des abscisses représente le domaine et l'axe des ordonnées représente l'ensemble d'arrivée.
Notion de fonction
En mathématiques, une fonction est un concept fondamental qui associe chaque valeur d'un ensemble appelé "domaine" à exactement une valeur dans un autre ensemble appelé "codomaine". Cela signifie qu'une fonction prend une entrée (ou antécédent) et produit exactement une sortie (ou image). Par exemple, dans une fonction f(x) = 2x + 3, pour toute valeur de x, il n'y a qu'une seule valeur de f(x).
Représentation graphique des fonctions
La représentation graphique d'une fonction est un outil précieux pour visualiser le comportement de la fonction. Pour dessiner le graphe d'une fonction, on choisit généralement un ensemble de valeurs d'entrée, on calcule les valeurs de sortie correspondantes, et on trace ces points dans un repère cartésien. Cela permet d'identifier facilement les caractéristiques de la fonction telles que l'axe des symétries, les points d'intersection avec les axes, et le comportement asymptotique.
Les fonctions usuelles
Fonction affine
Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = mx + b, où m et b sont des constantes. Sa représentation graphique est une ligne droite, où m est le coefficient directeur qui indique la pente de la ligne, et b est l'ordonnée à l'origine qui indique le point où la ligne coupe l'axe des ordonnées.
Fonction carré
La fonction carré est une fonction de la forme f(x) = x². Son graphe est une parabole qui s'ouvre vers le haut avec un sommet à l'origine du système de coordonnées. Cette fonction est paire, ce qui signifie que son graphe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Fonction inverse
Une fonction inverse est de la forme f(x) = 1/x, définie pour x ≠ 0. Son graphe est constitué de deux branches qui s'approchent des axes mais ne les touchent jamais, présentant des asymptotes horizontales et verticales.
Fonction racine carrée
La fonction racine carrée est f(x) = √x, définie pour x ≥ 0. Son graphe est une courbe qui commence à l'origine et croît lentement sans jamais devenir négative.
Variations et tableaux de signes
L'étude des variations d'une fonction consiste à déterminer les intervalles de son domaine sur lesquels elle est croissante ou décroissante. Un tableau de signes permet de représenter, pour une fonction affine ou de degré supérieur, les plages de valeurs où la fonction est positive ou négative, et donc de mieux comprendre sa courbe.
Résolutions graphiques
Les résolutions graphiques sont des méthodes utilisées pour trouver des solutions d'équations à l'aide des représentations graphiques des fonctions. En traçant les graphes de différentes fonctions, on peut identifier les points d'intersection qui représentent les solutions de l'équation, permettant une interprétation visuelle très utile, surtout quand les solutions ne peuvent pas facilement être obtenues algébriquement.
A retenir :
Les fonctions sont des outils mathématiques essentiels qui associent des entrées à des sorties uniques, et il existe de nombreuses méthodes pour analyser et représenter ces relations. Visuellement, les graphiques fonctionnels permettent d'identifier des caractéristiques cruciales, comme les points d'intersection et les asymptotes. Les fonctions usuelles comme les fonctions affines, carrés, inverses et de racine carrée sont fondamentales, chacune avec sa propre forme de graphe et ses propriétés. Enfin, l'analyse de variations et l'utilisation de tableaux de signes et de résolutions graphiques offrent des perspectives supplémentaires pour comprendre et interpréter des fonctions plus complexement.
