La dérivée d'une composante de fonctions est une opération qui nécessite l'utilisation de la règle de chaîne. Si vous avez deux fonctions différentiables f et g, alors la dérivée de la composée (f ∘ g)(x) est donnée par la formule : ((f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) ⋅ g'(x)). Prenons un exemple pour mieux comprendre : Soit f(x) = x² et g(x) = 3x + 2. La composée de f et g serait (f ∘ g)(x) = (3x + 2)². La dérivée, appliquant la règle de chaîne, serait : (f ∘ g)'(x) = 2(3x + 2) ⋅ 3 = 6(3x + 2).

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour tous x1 < x2 dans I, on a f(x1) ≤ f(x2). Elle est décroissante si, pour tous x1 < x2 dans I, on a f(x1) ≥ f(x2). Une propriété fondamentale est : Si la dérivée f' d'une fonction est positive sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Inversement, si f' est négative, alors f est décroissante. Preuve : Soit a < b deux points dans un intervalle I où f' est positive. Par définition de la dérivée, il existe un c entre a et b tel que f(b) - f(a) = f'(c) ⋅ (b - a) > 0, donc f(b) > f(a). Exemple : Prenons la fonction h(x) = x³. Sa dérivée h'(x) = 3x² est toujours positive pour x ≠ 0, ce qui prouve que h est croissante partout sauf en zéro.

Un extremum d'une fonction est un point où la fonction atteint un minimum ou un maximum local. Un minimum local est un point où la fonction prend une valeur plus faible que dans son voisinage proche, et, inversement, un maximum local est un point où la fonction prend une valeur plus élevée. Propriété admise : Si f' change de signe en passant par zéro en un point c (de positif à négatif), alors c est un maximum local. Si f' passe de négatif à positif, alors c est un minimum local.