Définition
Fonction
Une fonction est une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble un unique élément d'un autre ensemble.
Inéquation
Une inéquation est une expression mathématique impliquant une inégalité (>, <, ≥, ≤) entre deux expressions qui peuvent contenir des variables.
Intervalle
Un intervalle est un sous-ensemble de la droite réelle qui contient tous les nombres réels compris entre deux bornes données.
Fonctions et leurs représentations
Définition et Exemple de Fonction
Dans le cadre des mathématiques de lycée, une fonction est souvent exprimée sous la forme y = f(x), où x est la variable indépendante et y la variable dépendante. Par exemple, f(x) = 2x + 3 est une fonction linéaire.
Représentation Graphique des Fonctions
La représentation graphique d'une fonction est une courbe sur un plan cartésien. Pour la fonction linéaire f(x) = 2x + 3, la courbe est une ligne droite avec une pente de 2 et une ordonnée à l'origine de 3.
Inéquations et Résolution
Comprendre les Inéquations
Les inéquations permettent de définir des plages de valeurs pour lesquelles une condition est vraie. Par exemple, l'inéquation 2x + 3 > 5 définit les valeurs de x pour lesquelles cette expression est vraie.
Résolution d'Inéquations
Pour résoudre une inéquation, il est souvent utile de la manipuler, tout en respectant certaines règles: ajouter ou soustraire un même nombre de chaque côté, multiplier ou diviser par un nombre positif. Dans le cas où l'on divise ou multiplie par un nombre négatif, il faut inverser le signe de l'inégalité.
En reprenant l'exemple 2x + 3 > 5, nous pouvons d'abord soustraire 3 de chaque côté pour obtenir 2x > 2, puis diviser chaque côté par 2, ce qui donne x > 1. Ainsi, la solution de l'inéquation est l'intervalle de nombres réels plus grands que 1.
Cas des Inéquations Produits et Quotients
Pour les inéquations produits, comme (x - 2)(x + 3) > 0, il est nécessaire de déterminer les intervalles où le produit est positif. On identifie d'abord les valeurs pour lesquelles chaque facteur est nul (dans cet exemple, x = 2 et x = -3), puis on étudie les signes dans chaque intervalle séparé par ces valeurs.
A retenir :
En résumé, les fonctions et les inéquations sont des concepts fondamentaux en mathématiques au lycée. Les fonctions permettent de modéliser et de comprendre des relations quantitatives, tandis que les inéquations sont essentielles pour identifier des plages de validité où certaines conditions sont remplies. Maîtriser la représentation graphique et la résolution des inéquations est essentiel pour progresser dans le domaine analytique.
