Principales définitions
Définition
Multiple
Un multiple de nombre entier 'a' est le produit de 'a' avec un autre entier. Par exemple, les multiples de 3 sont 0, 3, 6, 9, 12, etc.
Diviseur
Un diviseur de nombre entier 'a' est un nombre entier 'b' tel que 'a' peut être divisé par 'b' sans laisser de reste. Par exemple, les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3, et 6.
Nombre premier
Un nombre premier est un nombre entier supérieur à 1 qui n'a pas d'autres diviseurs que 1 et lui-même.
PGCD
Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux entiers est le plus grand nombre entier qui divise ces deux nombres sans laisser de reste.
Multiples : propriétés et exemples
Les multiples d'un nombre entier ont des propriétés intéressantes. En particulier, un nombre entier 'a' est un multiple de tout diviseur de 'a'.
Par exemple, considérons le nombre 12 :
- 12 est un multiple de 3 (car 12 = 3 x 4).
- 12 est également un multiple de 4, 2, et 6.
Les multiples peuvent également être négatifs. Par exemple, -12 est un multiple de 3 (-12 = 3 x -4). Les multiples d'un nombre sont infinis en quantité.
Diviseurs : propriétés et exemples
Les diviseurs d'un nombre entier le divisent sans laisser de reste. Si 'b' divise 'a', alors 'a mod b = 0'.
Prenons l'exemple du nombre 15 :
- Les diviseurs de 15 sont 1, 3, 5, et 15.
- Chacun de ces nombres divise 15 exactement.
Un nombre entier a toujours au moins deux diviseurs : 1 et lui-même. Ainsi, 7 a pour diviseurs 1 et 7, ce qui fait de lui un nombre premier.
Lien entre multiples et diviseurs
Un nombre 'a' est un multiple d'un nombre 'b' si et seulement si 'b' est un diviseur de 'a'. Cela signifie que les deux concepts sont intrinsèquement liés.
Par exemple, considérons le nombre 20. Il est multiple de 5 (car 20 = 5 x 4) et 5 est un diviseur de 20. Ce lien fait des multiples et des diviseurs un concept double, entrelacé dans la structure des nombres entiers.
A retenir :
Les mathématiques des multiples et des diviseurs sont fondamentales pour comprendre la divisibilité dans les nombres entiers. Un multiple est obtenu en multipliant le nombre par un autre entier, tandis qu'un diviseur est un nombre entier qui divise un autre entier sans reste. Les diviseurs d'un nombre incluent toujours 1 et le nombre lui-même. L'on peut déduire le lien essentiel entre les deux en se basant sur la divisibilité : un nombre est un multiple de son diviseur et vice versa.
