Définition
Fonction
Une fonction est une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble, un élément unique dans un autre ensemble.
Domaine de définition
Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs pour lesquelles la fonction est définie.
Image
L'image est le résultat obtenu en appliquant la fonction à un élément de son domaine de définition.
Fonction injective
Une fonction est injective si et seulement si chaque image est associée à un élément unique du domaine.
Fonction surjective
Une fonction est surjective si chaque élément de l'ensemble d'arrivée possède au moins un antécédent.
Les types de fonctions
Il existe différents types de fonctions dans les mathématiques, chacune ayant des propriétés distinctives. Nous allons aborder quelques types incontournables.
Fonctions linéaires
Une fonction linéaire est une fonction qui peut être représentée par une équation de la forme f(x) = mx + b, où m et b sont des constantes. La fonction représente une droite dans le plan cartésien.
Fonctions quadratiques
Les fonctions quadratiques sont décrites par des équations du type f(x) = ax^2 + bx + c, où a, b, et c sont des constantes, et a est non nul. Elles représentent une parabole dans le plan cartésien.
Fonctions affines
Les fonctions affines sont une extension des fonctions linéaires et peuvent être exprimées sous la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des constantes. Elles sont également représentées par une droite dans le plan cartésien, avec un coefficient directeur a et une ordonnée à l'origine b.
Propriétés des fonctions
Les fonctions peuvent également être caractérisées par différentes propriétés importantes telles que la continuité, la dérivabilité, la croissance, et la convexité. Chacune de ces propriétés fournit des informations précieuses sur le comportement de la fonction.
Continuité des fonctions
Une fonction est continue sur un intervalle si elle ne présente aucune 'coupure' ou 'trou' dans cet intervalle. Mathématiquement, une fonction f est dite continue en un point x=a si la limite de f(x) quand x tend vers a est égale à f(a).
Dérivabilité des fonctions
Une fonction est dérivable à un point si elle admet une dérivée en ce point. Cela signifie que la fonction possède une tangente bien définie à ce point.
Croissance et décroissance des fonctions
Une fonction est croissante sur un intervalle si, pour tous les x et y dans cet intervalle, x < y implique f(x) ≤ f(y). Inversement, elle est décroissante si x < y implique f(x) ≥ f(y).
Convexité des fonctions
Une fonction est convexe sur un intervalle si elle se situe toujours au-dessous de la droite joignant deux de ses points quelconques dans cet intervalle. Si elle est au-dessus, elle est dite concave.
A retenir :
Les fonctions en mathématiques sont des relations entre deux ensembles, caractérisées par des propriétés telles que l'injectivité, la surjectivité, et divers types comme les fonctions linéaires, quadratiques, et affines. Comprendre leurs propriétés, comme la continuité, la dérivabilité, ainsi que leur comportement en termes de croissance, décroissance et convexité, est essentiel pour l'analyse mathématique.
