Les Nombres et Calculs
Les Fractions
Définition
Fraction
Un nombre rationnel représenté par deux entiers : un numérateur et un dénominateur qui n'est pas zéro.
Les fractions permettent d'exprimer des parties d'un tout. Pour additionner ou soustraire des fractions, il est nécessaire d'avoir un dénominateur commun. La multiplication de fractions consiste à multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. La division de fractions repose sur l'inversion de la fraction diviseur suivie d'une multiplication. Simplifier consiste à diviser les numérateur et dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD). Comparer des fractions équivaut souvent à les réduire à un dénominateur commun.
Les Nombres Décimaux
Définition
Nombre décimal
Un nombre possédant une partie entière et une partie fractionnaire décimale.
Les nombres décimaux sont utilisés quotidiennement et sont plus intuitifs que les fractions pour beaucoup de gens. Les opérations entre nombres décimaux (addition, soustraction, multiplication, division) suivent les règles classiques avec attention particulière aux points décimaux. L'arrondi des décimaux est une approximation précise du nombre à un certain nombre de décimales, souvent utilisé en sciences et finances. Comparer des nombres décimaux se fait grâce à leur valeur numérique directe.
Les Puissances
Définition
Puissance
Une manière d'écrire des produits de facteurs identiques, notée a^n où a est la base et n est l'exposant.
Les puissances de 10 sont particulièrement importantes car elles permettent d'exprimer et de manipuler des grands nombres et des petits nombres en notation scientifique. Les propriétés des puissances (comme a^m * a^n = a^(m+n)) sont essentielles dans les calculs algébriques. Cela inclut également le calcul et la simplification des expressions avec des puissances.
Les Racines Carrées
Définition
Racine carrée
Un nombre qui multiplié par lui-même donne le nombre initial, noté √a.
La racine carrée est la fonction inverse de la puissance au carré. Certaines racines carrées sont connues comme parfaites (√4 = 2). La simplification de racines carrées peut être réalisée lorsque le radicande (nombre sous la racine) est un multiple parfait d'un carré.
Les Proportions et Les Pourcentages
Les Pourcentages
Définition
Pourcentage
Une façon d'exprimer un rapport ou une proportion en centièmes.
Les pourcentages sont couramment utilisés pour décrire des augmentations ou des diminutions de valeurs. Calculer un pourcentage implique de multiplier le rapport par 100. Les applications concrètes incluent les soldes, les intérêts bancaires, et les statistiques démographiques. Une augmentation ou une diminution de pourcentage peut être calculée directement sur une valeur initiale.
Les Proportions
Définition
Proportion
L'égalité entre deux rapports.
Les problèmes de proportionnalité sont résolus en utilisant la règle de trois, qui permet de trouver une valeur inconnue lorsque trois valeurs sont connues. Les proportions sont aussi appliquées à l’échelle dans les cartes et plans, ce qui permet de représenter de grandes distances de manière réduite et compréhensible.
Les Échelles et Agrandissements
Les échelles indiquent le rapport entre une longueur mesurée et la longueur réelle. Le calcul d'échelles est crucial pour des situations géométriques et des plans architecturaux, où les distances doivent souvent être réduites ou agrandies proportionnellement.
Les Fonctions
Fonctions Linéaires
Définition
Fonction linéaire
Une fonction dont la représentation graphique est une droite passant par l'origine.
La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite. L'équation d'une fonction linéaire se présente sous la forme y = ax où a est le coefficient directeur de la droite. Un exemple typique d'application est la modélisation des coûts ou des revenus en économie.
Les Fonctions Affines
Définition
Fonction affine
Une fonction dont la représentation graphique est une droite non nécessairement passant par l'origine.
Les fonctions affines suivent la relation y = ax + b. Ici, a est la pente de la droite, déterminant son inclinaison, et b est l'ordonnée à l'origine, le point d'intersection avec l'axe des y. Les fonctions affines sont couramment utilisées pour interpréter des données et faire des prévisions dans de nombreux domaines.
Calcul d'une Fonction à Partir d'un Tableau de Valeurs
Pour calculer une fonction à partir d'un tableau de valeurs, il est nécessaire d'analyser la variation des y en fonction des x. Cela peut aider à déterminer s’il s'agit d’une fonction linéaire ou affine et permet ensuite de calculer les valeurs de la fonction qui relient x et y.
Les Géométries et Transformations
Les Figures Géométriques
Définition
Figure géométrique
Une forme ou une configuration définie par des points, lignes, courbes, surfaces, et solidité.
Les triangles, quadrilatères et cercles font partie des figures géométriques fondamentales avec des propriétés distinctes telles que les angles, les côtés, les symétries, le périmètre et l'aire. Connaitre les propriétés de chaque type de figure est crucial pour résoudre des problèmes en géométrie.
Les Solides
Définition
Solide géométrique
Une forme à trois dimensions ayant un volume.
Les solides tels que les cylindres, cônes, sphères et prismes ont des formules spécifiques pour calculer leur volume. Comprendre comment ces solides se structurent dans l'espace permet de résoudre des problèmes complexes impliquant espace et matériaux dans des applications pratiques.
Les Transformations Géométriques
Les transformations géométriques comprennent la symétrie, la translation, la rotation et l'homothétie. Chaque transformation peut modifier la position, l'orientation ou la taille d'une figure sans changer sa forme de base. Comprendre et appliquer ces transformations est essentiel dans la conception et l'analyse de formes géométriques.
Théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore énonce que dans tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ce principe fondamental est utilisé pour calculer des longueurs ou vérifier si un triangle est rectangle, à partir de mesures données.
Théorème de Thales
Le théorème de Thales est utilisé pour déterminer des rapports proportionnels dans des triangles semblables, souvent utilisé lorsque deux triangles partagent un angle commun. Ce théorème est essentiel dans la géométrie pour résoudre des problèmes liés aux proportions et aux échelles.
Les Statistiques et Probabilités
Les Représentations de Données
Les données sont souvent représentées graphiquement à l'aide de tableaux, diagrammes en bâtons, histogrammes et diagrammes circulaires. Chaque type de représentation est utilisé en fonction du type de données et du message à transmettre. La bonne interprétation de ces représentations est cruciale pour tirer des conclusions pertinentes.
Les Moyennes
Définition
Moyenne
La somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs.
Calculer la moyenne permet de comprendre la mesure centrale d'un ensemble de données. La moyenne est souvent interprétée pour évaluer les performances, comme les notes scolaires ou les bénéfices commerciaux. Cependant, elle peut parfois être trompeuse lorsque les données contiennent des valeurs aberrantes.
Les Probabilités
Définition
Probabilité
La mesure de la chance que se produise un événement.
Calculer la probabilité d'un événement simple consiste à diviser le nombre de résultats favorables par le nombre total de résultats possibles. Les probabilités aident à évaluer les risques dans des situations diverses et sont fondamentales dans la prise de décisions.
Les Suites
Suites Numériques
Définition
Suite
Une liste ordonnée de nombres suivant une règle précise.
Les suites numériques comprennent notamment les suites arithmétiques, où chaque terme est calculé en ajoutant un nombre constant au précédent, et les suites géométriques, où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un nombre constant. Calculer un terme d'une suite nécessite de connaitre la règle de formation, qui détermine toute la suite.
Les Équations et Inéquations
Les Équations
Définition
Équation
Une égalité contenant une ou plusieurs inconnues.
Résoudre des équations du premier degré implique de trouver la valeur des inconnues qui rendent l'égalité vraie. Les systèmes d'équations, qu'ils soient à une ou deux inconnues, exigent des méthodes telles que la substitution ou l'élimination pour trouver des solutions communes.
Les Inéquations
Définition
Inéquation
Une inégalité impliquant une ou plusieurs inconnues.
Les inéquations du premier degré sont résolues en dégageant l'inconnue tout en respectant le sens de l'inégalité. La représentation graphique d'une inéquation sur une droite numérique permet d'illustrer l'ensemble des solutions possibles.
Les Vecteurs
Les Vecteurs dans le Plan
Définition
Vecteur
Une quantité ayant à la fois une grandeuret une direction.
Les vecteurs addition, soustraction, et multiplication par un scalaire sont des opérations essentielles en physique et géométrie pour résoudre des problèmes liés à la force et au mouvement. Les coordonnées des vecteurs sont souvent obtenues par les différences entre les points de départ et d’arrivée, ce qui permet une manipulation aisée des vecteurs dans le plan cartésien.
Définition
Coordonnées d'un vecteur
Les valeurs numériques déterminant le déplacement d'un point à un autre dans le plan cartésien.
A retenir :
Ce cours explique les bases essentielles pour réussir les maths au Brevet Blanc. Des nombres et des calculs aux vecteurs, chaque section est conçue pour donner des outils nécessaires à la résolution des problèmes mathématiques typiques rencontrés à ce niveau. Les connaissances en fractions, proportions, fonctions, géométrie, statistiques, suites et équations sont fondamentales pour développer une compréhension mathématique complète, tandis que la manipulation des vecteurs, la reconnaissance des transformations géométriques, et la capacité à interpréter des données graphiques enrichissent considérablement la perception mathématique globale.
