La loi binomiale est définie par deux paramètres : n et p. Le paramètre n représente le nombre total d'essais, tandis que p représente la probabilité de succès lors d'un seul essai. La probabilité de réaliser exactement k succès en n essais est donnée par la formule : \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] Cette formule s'appuie sur le concept de coefficient binomial et combine la probabilité de k succès (\(p^k\)) avec la probabilité de \(n-k\) échecs (\((1-p)^{n-k}\)).

Deux des mesures statistiques importantes pour une loi binomiale sont l'espérance (ou la moyenne) et la variance. 1. **Espérance** : L'espérance d'une variable aléatoire binomiale X suivant une loi binomiale de paramètres n et p est donnée par : \[ E(X) = np \] Cela signifie que si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois, on s'attend à observer en moyenne np succès. 2. **Variance** : La variance d'une variable aléatoire binomiale X est donnée par : \[ Var(X) = np(1-p) \] La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. Une faible variance indique que les valeurs tendent à être proches de l'espérance.

La loi binomiale trouve des applications dans de nombreuses situations pratiques où l'on évalue le nombre de succès d'une série d'événements indépendants. Voici quelques exemples concrets : - **Qualité de production** : Déterminer le nombre d'articles défectueux dans une production de masse lorsque la probabilité qu'un article soit défectueux est connue. - **Enquêtes et sondages** : Évaluer la proportion de personnes répondant positivement à une question dans un échantillon d'une population. - **Biostatistiques** : Étudier la proportion de succès dans des essais cliniques de traitements médicaux.

Dans certains cas, la loi binomiale peut être approximée par d'autres distributions, ce qui facilite les calculs, notamment lorsque n est grand. Les approximations courantes incluent : 1. **Approximation par la loi de Poisson** : Utilisée lorsque n est grand, p est petit, et np est modéré. La loi de Poisson est souvent utilisée pour modéliser le nombre d'événements se produisant dans un intervalle fixe. 2. **Approximation par la loi normale** : Utilisée lorsque n est grand et p n'est ni trop proche de 0 ni de 1. Grâce au théorème central limite, la distribution binomiale peut être approximée par une distribution normale de moyenne np et de variance np(1-p).