Définitions
Définition
Proposition
Une proposition est une assertion qui est soit vraie, soit fausse, mais pas les deux en même temps.
Connecteur logique
Les connecteurs logiques sont des symboles ou des mots utilisés pour relier des propositions, tels que 'et', 'ou', 'non', 'si alors', etc.
Prédicat
Un prédicat est une propriété ou une relation qui peut être vraie ou fausse selon les valeurs des variables qui y sont impliquées.
Quantificateur
Les quantificateurs permettent de formuler des assertions sur tous les éléments d'un domaine ('pour tout') ou sur l'existence d'un élément ('il existe').
Logique des propositions
La logique des propositions est la branche de la logique mathématique qui s'intéresse aux propositions et à leurs combinaisons via des connecteurs logiques. Les principales règles de la logique des propositions incluent la loi de non-contradiction, la loi du tiers exclu et le principe de double négation.
Tableaux de vérité
Les tableaux de vérité sont des outils utilisés pour déterminer la vérité d'une proposition composée en listant toutes les combinaisons possibles de vérités des propositions simples qui la composent. Ils permettent de visualiser comment la vérité d'une proposition complexe dépend de ses composants élémentaires.
Logique des prédicats
La logique des prédicats étend la logique des propositions en introduisant des quantificateurs et des variables. Alors que la logique des propositions traite de phrases complètes, la logique des prédicats permet de faire des énoncés sur des objets et leurs propriétés. Elle est essentielle pour les systèmes formels et le raisonnement mathématique avancé.
Les quantificateurs
Les deux principaux quantificateurs en logique sont le quantificateur universel (∀) et le quantificateur existentiel (∃). Le quantificateur universel (∀) s'utilise pour signifier que la propriété est vraie pour tout élément du domaine. Le quantificateur existentiel (∃) indique qu'il existe au moins un élément dans le domaine pour lequel la propriété est vraie.
La déduction naturelle
La déduction naturelle est une méthode de preuve où l'on dérive une conclusion à partir de prémisses à l'aide de règles d'inférence logiques. Elle est utilisée pour structurer des arguments logiques et prouver rigoureusement des théorèmes dans divers domaines des mathématiques.
A retenir :
La logique mathématique est un domaine essentiel qui sous-tend de nombreuses disciplines mathématiques. Elle traite de l'étude des propositions, des prédicats, des connecteurs logiques et des quantificateurs. La logique des propositions concerne la structure des propositions complexes, tandis que la logique des prédicats permet de raisonner sur les objets et leurs propriétés. Les tableaux de vérité, les quantificateurs et la déduction naturelle sont des outils clés pour formaliser et prouver des assertions mathématiques.
