Cours sur la linéarité
Définition
Définition de la linéarité
La linéarité est un concept largement utilisé dans les domaines des mathématiques et de la physique. En termes simples, une relation ou une fonction est dite linéaire si elle obéit à deux propriétés essentielles : l'additivité et l'homogénéité.
L'additivité signifie que si deux valeurs de la variable indépendante sont additionnées, alors les valeurs correspondantes de la variable dépendante sont également additionnées. En d'autres termes, si f(x₁) représente la valeur de la fonction pour x₁ et f(x₂) représente la valeur de la fonction pour x₂, alors f(x₁ + x₂) = f(x₁) + f(x₂). Cette propriété est également appelée la propriété de superposition.
L'homogénéité, quant à elle, signifie que si la variable indépendante est multipliée par un facteur constant, alors la variable dépendante est également multipliée par ce facteur. En d'autres termes, si f(x) représente la valeur de la fonction pour x, alors f(a * x) = a * f(x), où a est une constante. Cette propriété est également appelée la propriété d'échelle.
La linéarité peut être représentée graphiquement par une droite passant par l'origine (0,0) dans un système de coordonnées cartésiennes. Les relations non-linéaires peuvent être représentées par des courbes qui ne sont pas une ligne droite.
La linéarité est un concept fondamental dans de nombreux domaines des sciences et de l'ingénierie. Elle est utilisée pour modéliser et résoudre une grande variété de problèmes, notamment dans les domaines de l'électricité, de la mécanique, de l'économie et des systèmes de contrôle.
Exemples de fonctions linéaires
Définition
Fonction linéaire
La fonction linéaire f(x) = mx + b est l'un des exemples les plus simples de fonction linéaire. Elle est représentée graphiquement par une droite.
Le coefficient m représente la pente de la droite, c'est-à-dire à quel point la fonction augmente ou diminue à mesure que la variable indépendante x augmente. Le terme b est l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire la valeur de la fonction lorsque x est égal à zéro.
D'autres exemples de fonctions linéaires incluent les lois de conservation, les équations de mouvement à vitesse constante et les équations de proportionnalité directe.
Résumé
A retenir :
La linéarité est un concept important dans les mathématiques et la physique. Une relation ou une fonction est dite linéaire si elle satisfait les propriétés d'additivité et d'homogénéité. Les fonctions linéaires peuvent être représentées par des droites dans un système de coordonnées cartésiennes. Elles sont utilisées pour modéliser et résoudre une variété de problèmes dans de nombreux domaines. Les exemples de fonctions linéaires comprennent les fonctions linéaires simples et les lois de conservation.
