Définition
Limite d'une fonction
La limite d'une fonction f(x) lorsque x tend vers un point a est la valeur que f(x) approche aussi près que désiré lorsque x s'approche de a.
Asymptote
Une asymptote est une droite telle que la distance entre la courbe et la droite tend vers zéro à mesure que l'on s'éloigne le long de la courbe.
Théorème de gendarme
Si une fonction est coincée entre deux fonctions qui ont la même limite, alors elle partage cette même limite.
Limites de fonctions
Les limites de fonctions sont importantes pour déterminer le comportement d'une fonction à proximité d'un point donné. Si une fonction f(x) a une limite L lorsque x tend vers a, cela signifie que f(x) se rapproche autant que souhaité de L pour x suffisamment proche de a. Les limites peuvent être infinies, ce qui indique que la fonction devient plus grande à l'infini ou tend vers zéro en valeur absolue. Différentes techniques existent pour calculer les limites, dont l'utilisation de certains théorèmes comme le théorème de gendarme.
Les asymptotes
Asymptote horizontale
Une asymptote horizontale est une ligne horizontale que la courbe approche. Si la fonction f(x) tend vers un nombre L lorsque x tend vers l'infini ou moins l'infini, y = L est une asymptote horizontale.
Asymptote verticale
Une asymptote verticale est une ligne verticale, x = a, telle que f(x) tend vers l’infini ou moins l’infini lorsque x tend vers a. Cela signifie que la fonction devient indéfiniment grande en valeur absolue sur une petite intervalle autour de ce point.
Opérations et limites
Lorsque nous effectuons des opérations sur des fonctions, nous devons prendre en compte les limites. Par exemple, pour la somme de deux fonctions ayant des limites, la limite de la somme est la somme des limites, si elles existent. La multiplication, la division, et la soustraction suivent des règles similaires mais nécessitent quelques précautions, surtout en cas de divisions par zéro ou multiplications par des infinis.
Théorèmes de comparaison
Théorème de croissance comparée
Ce théorème est utilisé pour comparer les croissances de deux fonctions lorsque x tend vers l'infini ou un point donné. Si une fonction croît plus lentement qu’une autre ou de manière comparable, des limites et comportements peuvent être déduits pour analyser les fonctions plus facilement.
Théorème des gendarmes
Aussi appelé théorème d'encadrement, il est utilisé pour déterminer la limite d'une fonction en l'encadrant entre deux autres fonctions dont les limites sont connues et identiques.
Comparaison directe
Pour déterminer la limite d'une fonction, il est parfois possible d'identifier une autre fonction avec laquelle elle peut être comparée directement, surtout si les fonctions sont très semblables pour des grandes valeurs de x.
A retenir :
En résumé, la notion de limite est centrale pour comprendre le comportement des fonctions dans l'analyse mathématique. Les asymptotes fournissent des informations sur la direction des courbes à l'infini et autour des points critiques, tandis que les théorèmes de comparaison facilitent l'estimation des limites quand le calcul direct est complexe. Maîtriser ces concepts est essentiel pour analyser des fonctions et comprendre leur comportement sur leur domaine de définition.
