Les valeurs numériques et opérations sur les polynômes
Un polynôme est une expression mathématique formée par des variables et des coefficients, combinées par des opérations de multiplication et d'addition. Les polynômes sont utilisés dans de nombreux domaines des mathématiques et de la science pour modéliser et résoudre des problèmes. Dans ce cours, nous allons explorer les valeurs numériques des polynômes, les opérations de base sur les polynômes et la méthode horner pour la division des polynômes.
1. Les valeurs numériques des polynômes
Pour évaluer un polynôme en une valeur numérique donnée, nous remplaçons simplement la variable par cette valeur et effectuons les opérations. Par exemple, si nous avons le polynôme P(x) = 3x^2 + 2x + 1 et nous voulons trouver P(2), nous remplaçons x par 2 dans l'expression du polynôme :
Définition
Exemple
P(2) = 3(2)^2 + 2(2) + 1 = 12 + 4 + 1 = 17
Ainsi, P(2) = 17. Nous pouvons également évaluer un polynôme pour plusieurs valeurs numériques en répétant simplement le processus pour chaque valeur.
2. Les opérations sur les polynômes
Les opérations de base sur les polynômes incluent l'addition, la soustraction et la multiplication. Pour ajouter ou soustraire des polynômes, nous combinons les termes de même degré. Par exemple, si nous avons les polynômes P(x) = 3x^2 + 2x + 1 et Q(x) = 2x^2 + x + 3, nous pouvons les additionner en ajoutant les termes correspondants :
Définition
Exemple
P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) + (2x^2 + x + 3) = 3x^2 + 2x^2 + 2x + x + 1 + 3 = 5x^2 + 3x + 4
Ainsi, P(x) + Q(x) = 5x^2 + 3x + 4. Pour multiplier des polynômes, nous utilisons la méthode de la multiplication distributive en multipliant chaque terme du premier polynôme par chaque terme du deuxième polynôme. Par exemple, si nous multiplions les mêmes polynômes P(x) et Q(x), nous obtenons :
Définition
Exemple
P(x) * Q(x) = (3x^2 + 2x + 1) * (2x^2 + x + 3) = 6x^4 + 3x^3 + 9x^2 + 4x^3 + 2x^2 + 6x + 2x^2 + x + 3 = 6x^4 + 7x^3 + 13x^2 + 7x + 3
Ainsi, P(x) * Q(x) = 6x^4 + 7x^3 + 13x^2 + 7x + 3. Il est important de noter que la multiplication de polynômes peut parfois entraîner des termes de degré supérieur.
3. La méthode Horner pour la division des polynômes
La méthode Horner est une méthode efficace pour diviser un polynôme par un binôme de la forme x - a. Elle permet de trouver le quotient et le reste de cette division. La méthode consiste à effectuer une série de divisions synthétiques en utilisant un nombre initial, a, comme point de départ. Voici les étapes pour utiliser la méthode Horner :
1. Réécrivez le polynôme de départ avec les termes en ordre décroissant de degré.
2. Placez le coefficient du terme de plus haut degré en dehors de la division synthétique.
3. Multipliez le nombre initial, a, par le coefficient précédent et ajoutez-le au coefficient suivant dans le polynôme.
4. Répétez l'étape 3 pour chaque coefficient jusqu'à ce que vous atteignez le coefficient du terme constant.
5. Le résultat final est le quotient du polynôme de départ divisé par x - a et le dernier terme obtenu est le reste.
4. Résumé
A retenir :
Dans ce cours, nous avons exploré les valeurs numériques des polynômes en les évaluant pour des valeurs spécifiques. Nous avons également étudié les opérations de base sur les polynômes, telles que l'addition, la soustraction et la multiplication. Enfin, nous avons appris la méthode Horner pour diviser les polynômes. Cette méthode utilise des divisions synthétiques pour trouver le quotient et le reste de la division d'un polynôme par un binôme de la forme x - a. Les polynômes et leurs opérations sont des outils essentiels en mathématiques et jouent un rôle important dans de nombreux domaines de la science.
