Définition
Suite
Une suite est une liste ordonnée de nombres réels, souvent indexée par les entiers naturels.
Termes d'une suite
Les éléments d'une suite s'appellent des termes, et sont notés généralement u_n avec n l'indice du terme.
Suite arithmétique
C'est une suite de la forme (u_n) où chaque terme est égal au précédent augmenté d'une constante appelée la raison.
Suite géométrique
C'est une suite de la forme (v_n) où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante appelée le rapport.
Raison
La différence constante entre les termes successifs d'une suite arithmétique.
Rapport
La constante égale au quotient de deux termes successifs d'une suite géométrique.
Caractéristiques des suites arithmétiques
Une suite arithmétique est caractérisée par sa raison, souvent notée r. Si (u_n) est une suite arithmétique de premier terme u_0, alors chaque terme u_n peut être exprimé comme : u_n = u_0 + n*r. La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique, notée S_n, est donnée par la formule : S_n = n/2 * (u_0 + u_(n-1)).
Caractéristiques des suites géométriques
Une suite géométrique est déterminée par le rapport, souvent noté q. Si (v_n) est une suite géométrique de premier terme v_0, chaque terme v_n peut être exprimé par : v_n = v_0 * q^n. La somme des n premiers termes d'une suite géométrique, notée S_n, est donnée par : S_n = v_0 * (1 - q^n)/(1 - q), pour q ≠ 1.
Convergence et limite des suites
Une suite (a_n) converge vers une limite L si, pour tout ε > 0, il existe un entier N tel que pour tout n ≥ N, |a_n - L| < ε. Une suite convergente a une limite finie tandis qu'une suite divergente n'en a pas ou tend vers l'infini.
Suites croissantes et décroissantes
Une suite (b_n) est croissante si pour tout entier n, b_n ≤ b_(n+1). Inversement, elle est décroissante si b_n ≥ b_(n+1). Une suite est dite monotone si elle est soit croissante, soit décroissante.
A retenir :
Les suites sont des structures fondamentales en mathématiques, impliquant un ensemble de nombres ordonnés. Les suites arithmétiques et géométriques se distinguent par la présence d'une raison ou d'un rapport. La convergence, la croissance et la décroissance sont des propriétés importantes qui aident à comprendre le comportement à long terme d'une suite.
