Définitions
Définition
Suite
Une suite est une succession ordonnée de nombres, appelés termes de la suite.
Suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite de nombres tels que la différence entre deux termes consécutifs est constante.
Suite géométrique
Une suite géométrique est une suite de nombres tels que le rapport entre deux termes consécutifs est constant.
Les suites arithmétiques
Une suite arithmétique est définie par son premier terme noté u₀ (ou u₁ selon les conventions) et par sa raison notée r. Ainsi, chaque terme de la suite peut être exprimé par la formule de récurrence : uₙ₊₁ = uₙ + r ou en utilisant la formule explicite : uₙ = u₀ + n*r.
La représentation graphique d'une suite arithmétique est un ensemble de points alignés, ce qui traduit un changement constant entre les termes.
Les suites géométriques
Pour une suite géométrique, on utilise un premier terme initial u₀ (ou u₁) et une raison q. Chaque terme peut être défini par la formule de récurrence : uₙ₊₁ = uₙ * q ou par la formule explicite : uₙ = u₀ * qⁿ.
La représentation graphique d'une suite géométrique varie selon la valeur de q : si q > 1, la suite est croissante exponentiellement ; si 0 < q < 1, elle est décroissante vers 0.
Convergence et divergence des suites
Une suite converge si, lorsque n devient très grand, les termes de la suite se rapprochent d'une valeur fixe appelée limite. À l'inverse, une suite diverge si elle ne se stabilise pas vers une valeur précise.
Les suites arithmétiques ne convergent pas à moins que leur raison r soit zéro. Pour les suites géométriques, elles convergent si la raison q est comprise entre -1 et 1.
Application des suites
Les suites arithmétiques et géométriques ont des applications dans des domaines variés tels que les finances (intérêts simples et composés), la physique (mouvements linéaires ou exponentiels) et la modélisation de la croissance ou de la décroissance dans diverses disciplines.
A retenir :
Les suites, qu'elles soient arithmétiques ou géométriques, sont des outils mathématiques puissants permettant de modéliser et comprendre des phénomènes allant des finances à la physique. Les suites arithmétiques sont caractérisées par une croissance linéaire, tandis que les suites géométriques suivent une croissance multiplicative. Leur étude implique de comprendre leur comportement à l'infini, notamment en termes de convergence ou divergence, ce qui est crucial pour leur application dans le monde réel.
