Définition
Suite
Une suite est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels (ou une partie de cet ensemble) à valeurs dans un ensemble numérique, généralement l'ensemble des nombres réels.
Suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme est obtenu en ajoutant un nombre constant appelé raison à son prédécesseur.
Suite géométrique
Une suite géométrique est une suite de nombres dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant son prédécesseur par un nombre constant appelé raison.
Les différentes représentations des suites
La notation explicite
La notation explicite d'une suite permet de définir un terme quelconque de la suite en fonction de son rang. Pour une suite notée (u_n), l'expression explicite est souvent de la forme u_n = f(n), où f est une fonction mathématique. Par exemple, pour une suite arithmétique où le premier terme est u_0 et la raison est r, on a u_n = u_0 + n * r.
La notation récurrente
Dans une notation récurrente, chaque terme de la suite est défini en fonction du ou des termes précédents. Elle est particulièrement utile pour les suites définies par une relation de récurrence. Par exemple, dans une suite arithmétique, la relation récurrente est u_{n+1} = u_n + r.
Étude des suites arithmétiques
Propriétés des suites arithmétiques
Les suites arithmétiques ont plusieurs propriétés intéressantes: la différence entre deux termes consécutifs est constante (la raison), et la somme des termes d'une suite arithmétique peut être facilement calculée à l'aide de formules spécifiques. De plus, la moyenne des premiers termes d'une suite arithmétique est égale à la moyenne des termes extrêmes.
Exemples et applications pratiques
Les suites arithmétiques apparaissent fréquemment dans divers problèmes pratiques, tels que la planification des paiements échelonnés, la croissance linéaire de populations ou même dans certaines progressions de cours d'investissement.
Étude des suites géométriques
Propriétés des suites géométriques
Les suites géométriques se caractérisent par le fait que le rapport entre deux termes consécutifs est constant (la raison). Elles sont souvent utilisées pour modéliser des phénomènes tels que la croissance exponentielle ou les intérêts composés. Une propriété clés des suites géométriques est que le produit de leurs termes est également régulier, et elles ont des formules spécifiques pour calculer la somme de leurs termes.
Exemples et applications pratiques
Les suites géométriques sont utiles pour comprendre des concepts liés à l'expansion rapide, comme dans l'étude des populations bactériologiques ou le calcul de la valeur future d'un investissement avec intérêts composés.
A retenir :
En conclusion, comprendre les suites, qu'elles soient arithmétiques ou géométriques, est crucial pour aborder de nombreux problèmes mathématiques et applications du monde réel. Les suites arithmétiques se développent par addition constante, tandis que les suites géométriques se développent par multiplication constante. Les notations explicites et récurrentes fournissent deux approches complémentaires pour définir, exploiter et appliquer les suites dans divers contextes. La maîtrise de ces notions permet une meilleure compréhension des phénomènes de croissance linéaire ou exponentielle.
