Définition
Suite numérique
Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres réels ou complexes, notée (u_n), où chaque nombre est associé à un entier naturel n qui représente sa position dans la liste.
Terme général d'une suite
Le terme général d'une suite est une expression qui permet de calculer le n-ième terme de la suite. Il est souvent noté u_n en fonction de n.
Suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite numérique dans laquelle chaque terme est obtenu en ajoutant un même nombre, appelé raison, au terme précédent. Elle est définie par u_n = u_0 + n * r, où r est la raison.
Suite géométrique
Une suite géométrique est une suite dans laquelle chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante appelée raison. Elle est définie par u_n = u_0 * r^n, où r est la raison.
Les suites arithmétiques
Une suite arithmétique se caractérise par la régularité de l'écart entre ses termes successifs. Si on désigne par r la raison de cette suite, alors pour tout entier n, u_{n+1} = u_n + r. Par conséquent, chaque terme peut être exprimé en fonction du premier terme et de la raison : u_n = u_0 + n*r.
Les suites arithmétiques sont utilisées dans de nombreux domaines pour modéliser des situations de croissance ou de décroissance linéaire. Un exemple classique est celui des économies à intérêt simple, où les montants augmentent d'une somme fixe à chaque période.
Les suites géométriques
Une suite géométrique est définie par une progression multiplicative entre chaque terme. Si r est la raison de cette suite, alors u_{n+1} = u_n * r. Chaque terme peut donc être exprimé comme u_n = u_0 * r^n.
Les suites géométriques sont fréquemment rencontrées dans les situations où un phénomène évolue de manière exponentielle. C'est le cas des intérêts composés en finance, où le montant de l'emprunt ou de l'épargne est multiplié par un taux fixe à chaque période.
Comparaison entre suites arithmétiques et géométriques
La principale différence entre les suites arithmétiques et géométriques réside dans leur mode de progression. Dans une suite arithmétique, la progression est linéaire, ce qui signifie qu'en ajoutant un nombre fixe à chaque étape, on génère la suite. En revanche, dans une suite géométrique, la progression est exponentielle, chaque terme étant le produit du précédent par un facteur constant.
Un autre aspect à noter est la croissance des suites. Une suite arithmétique peut être croissante, décroissante ou constante, selon le signe de la raison. Pour une suite géométrique, la croissance dépend de la valeur absolue de la raison : si |r| > 1, la suite est croissante ; si |r| < 1, elle est décroissante (vers zéro).
Somme des termes d'une suite
La somme des termes d'une suite arithmétique de u_0 à u_n est S_n = (n+1)*(u_0 + u_n)/2. Cette formule résulte du fait que la suite est équidistante, ce qui permet d'associer chaque paire de termes de manière symétrique par rapport à leur milieu.
En revanche, la somme des termes d'une suite géométrique de u_0 à u_n avec r ≠ 1 est S_n = u_0 * (1 - r^{n+1}) / (1 - r). Cette formule s'obtient par sommation des termes successifs en utilisant la propriété multiplicative de la suite.
A retenir :
Les suites numériques sont des outils mathématiques fondamentaux permettant de décrire des progressions de nombres. Alors que les suites arithmétiques présentent une croissance linéaire, les suites géométriques suivent une croissance exponentielle. Chaque type de suite a des applications spécifiques, notamment dans la finance et d'autres domaines nécessitant une analyse séquentielle. La compréhension de leur comportement nous permet de modéliser des situations variées et de calculer les sommes d'une série de termes dans différents contextes.
