Définition
Suite numérique
Une suite numérique est une fonction définie sur les entiers naturels, qui associe à chaque entier naturel un nombre réel. Elle est généralement notée (u_n) où n est un entier naturel.
Suite arithmétique
Une suite arithmétique est une suite de nombres tels que la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante est appelée raison de la suite.
La suite arithmétique
Une suite arithmétique est définie par son premier terme et sa raison. Si (u_n) est une suite arithmétique, alors il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, u_{n+1} = u_n + r. Le terme général de la suite arithmétique est donné par la formule : u_n = u_0 + n*r, où u_0 est le premier terme de la suite. Par exemple, dans la suite 2, 5, 8, 11, ..., le premier terme u_0 est 2 et la raison est 3.
Propriétés des suites arithmétiques
Une suite arithmétique de raison r est croissante si r > 0, décroissante si r < 0, et constante si r = 0. De plus, la moyenne de deux termes équidistants d'une suite arithmétique est égale à un terme intermédiaire.
Suites et suites récurrentes
Une suite récurrente est une suite où chaque terme est défini à partir des termes précédents. Par exemple, une suite arithmétique (u_n) peut être définie de manière récurrente par u_{n+1} = u_n + r, avec u_0 initialement donné. Pour une suite géométrique (v_n), on utilise la relation récurrente v_{n+1} = v_n * q.
A retenir :
Les suites numériques sont des outils essentiels en mathématiques permettant de représenter des comportements répétitifs. Les suites arithmétiques et géométriques sont spécifiques par leurs modes d'évolution : linéaire pour les suites arithmétiques avec une différence constante entre les termes successifs, et exponentielle pour les suites géométriques avec un rapport constant entre les termes. Ces suites peuvent être exprimées par des formules générales ou par des relations de récurrence. Comprendre et utiliser ces concepts est fondamental pour progresser dans les études mathématiques et les applications pratiques.
